Question

某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品時(shí)，固定成本為5 000元，而每生產(chǎn)100臺(tái)產(chǎn)品時(shí)直接消耗成本要增加2500元，市場(chǎng)對(duì)此商品年需求量為500臺(tái)，銷售的收入函數(shù)為R（x）=5x-

1

2

x2（萬(wàn)元）（0≤x≤5），其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量（單位：百臺(tái)）
（1）把利潤(rùn)表示為年產(chǎn)量的函數(shù)；
（2）年產(chǎn)量多少時(shí)，企業(yè)所得的利潤(rùn)最大．

Answer 1

分析：（1）利潤(rùn)y是指生產(chǎn)數(shù)量x的產(chǎn)品售出后的總收入R（x）與其總成本C（x）之差，而總成本C（x）=固定成本（5000）+生產(chǎn)消耗成本（每生產(chǎn)100臺(tái)產(chǎn)品時(shí)直接消耗成本要增加2500元）；
（2）分段求和函數(shù)的最大值，比較可得企業(yè)所得的利潤(rùn)最大

解答：解：（1）利潤(rùn)y是指生產(chǎn)數(shù)量x的產(chǎn)品售出后的總收入R（x）與其總成本C（x）之差，
由題意，當(dāng)x≤5時(shí)，產(chǎn)品能全部售出，利潤(rùn)y=5x-

1

2

x2-(0.5+0.25x)
當(dāng)x＞5時(shí)，只能銷售500臺(tái)，利潤(rùn)y=(5×5-

1

2

×52)-(0.5+0.25x)
∴y=

5x-0.5x2-(0.5+0.25x)     0≤x≤5 (5×5-0.5×52)-(0.5+0.25x)  x＞5

=

4.75x-0.5x2-0.5，0≤x≤5 12-0.25x，x＞5

…（6分）
（2）在0≤x≤5時(shí)，y=-

1

2

x²+4.75x-0.5，…（8分）
當(dāng)x=-

b

2a

=4.75時(shí)，y_max=10.781 25；    …（10分）
當(dāng)x＞5 百臺(tái)時(shí)，y＜12-0.25×5=10.75，…（11分）
∴當(dāng)生產(chǎn)4.75百臺(tái)即475臺(tái)時(shí)，利潤(rùn)最大．  …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查根據(jù)實(shí)際問題抽象函數(shù)模型的能力，并能根據(jù)模型的解決，指導(dǎo)實(shí)際生活中的決策問題，屬中檔題．