Question

【題目】設(shè)a，b∈R，函數(shù) ，g（x）=ex（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），且函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）的圖象在x=0處有公共的切線．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）若g（x）＞f（x）在區(qū)間（﹣∞，0）內(nèi)恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f'（x）=x2+2ax+b，g'（x）=ex，

由f'（0）=b=g'（0）=1，得b=1

（Ⅱ）f'（x）=x2+2ax+1=（x+a）2+1﹣a2，

當(dāng)a2≤1時(shí)，即﹣1≤a≤1時(shí)，f'（x）≥0，從而函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

當(dāng)a2＞1時(shí)， ，此時(shí)

若 ，f'（x）＞0，則函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；

若 ，f'（x）＜0，則函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；

若 時(shí)，f'（x）＞0，則函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．

（Ⅲ）令h（x）=g'（x）﹣f'（x）=ex﹣x2﹣2ax﹣1，則h（0）=e0﹣1=0．h'（x）=ex﹣2x﹣2a，令u（x）=h'（x）=ex﹣2x﹣2a，則u'（x）=ex﹣2．

當(dāng)x≤0時(shí)，u'（x）＜0，從而h'（x）單調(diào)遞減，

令u（0）=h'（0）=1﹣2a=0，得 ．

先考慮 的情況，此時(shí)，h'（0）=u（0）≥0；

又當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)，h'（x）單調(diào)遞減，所以h'（x）＞0；

故當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)，h（x）單調(diào)遞增；

又因?yàn)閔（0）=0，故當(dāng)x＜0時(shí)，h（x）＜0，

從而函數(shù)g（x）﹣f（x）在區(qū)間（﹣∞，0）內(nèi)單調(diào)遞減；

又因?yàn)間（0）﹣f（0）=0，所以g（x）＞f（x）在區(qū)間（﹣∞，0）恒成立．

接下來考慮 的情況，此時(shí)，h'（0）＜0，

令x=﹣a，則h'（﹣a）=e﹣a＞0．

由零點(diǎn)存在定理，存在x0∈（﹣a，0）使得h'（x0）=0，

當(dāng)x∈（x0，0）時(shí)，由h'（x）單調(diào)遞減可知h'（x）＜0，所以h（x）單調(diào)遞減，

又因?yàn)閔（0）=0，故當(dāng)x∈（x0，0）時(shí)h（x）＞0．

從而函數(shù)g（x）﹣f（x）在區(qū)間（x0，0）單調(diào)遞增；

又因?yàn)間（0）﹣f（0）=0，所以當(dāng)x∈（x0，0），g（x）＜f（x）．

綜上所述，若g（x）＞f（x）在區(qū)間（﹣∞，0）恒成立，則a的取值范圍是

【解析】（Ⅰ）求出兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）的圖象在x=0處有公共的切線．列出方程即可求解b．（Ⅱ）求出導(dǎo)函數(shù)f'（x）=，通過﹣1≤a≤1時(shí)，當(dāng)a2＞1時(shí)，分別判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，推出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（Ⅲ）令h（x）=g'（x）﹣f'（x）=ex﹣x2﹣2ax﹣1，可得h（0）0．求出h'（x）=ex﹣2x﹣2a，令u（x）=h'（x）=ex﹣2x﹣2a，求出導(dǎo)數(shù)u'（x）=ex﹣2．當(dāng)x≤0時(shí)，u'（x）＜0，從而h'（x）單調(diào)遞減，求出 ．考慮 的情況， 的情況，分別通過函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值，推出a的范圍即可．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減才能得出正確答案．