Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|x﹣m|﹣|x+3m|（m＞0）． （Ⅰ）當(dāng)m=1時(shí)，求不等式f（x）≥1的解集；
（Ⅱ）對于任意實(shí)數(shù)x，t，不等式f（x）＜|2+t|+|t﹣1|恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） ， 當(dāng)m=1時(shí)，由 或x≤﹣3，得到 ，
∴不等式f（x）≥1的解集為 ；
（Ⅱ）不等式f（x）＜|2+t|+|t﹣1|對任意的實(shí)數(shù)t，x恒成立，
等價(jià)于對任意的實(shí)數(shù)xf（x）＜[|2+t|+|t﹣1|]min恒成立，
即[f（x）]max＜[|2+t|+|t﹣1|]min ，
∵f（x）=|x﹣m|﹣|x+3m|≤|（x﹣m）﹣（x+3m）|=4m，
|2+t|+|t﹣1|≥|（2+t）﹣（t﹣1）|=3，
∴4m＜3又m＞0，所以
【解析】（Ⅰ）將m=1的值帶入，得到關(guān)于x的不等式組，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）問題等價(jià)于對任意的實(shí)數(shù)xf（x）＜[|2+t|+|t﹣1|]min恒成立，根據(jù)絕對值的性質(zhì)求出f（x）的最大值以及[|2+t|+|t﹣1|]min ， 求出m的范圍即可．
【考點(diǎn)精析】掌握絕對值不等式的解法是解答本題的根本，需要知道含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對值的符號(hào)．