Question

已知向量

a

=（cos（-θ），sin（-θ）），

b

=（cos（

π

2

-θ），sin（

π

2

-θ）），設(shè)

m

=

a

+（x²+3）

b

，

n

=-y

a

+x

b

，且滿足

m

⊥

n

．
（1）寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（x）；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）-ax在（-1，1）上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）先根據(jù)已知條件求出

a

，

b

，而

m

⊥

n

，所以有

m

•

n

=0，要求

m

•

n

先求出

a

2=

b

2=1，

a

•

b

=0，這樣即可得到

m

•

n

，從而得到y(tǒng)=x³+3x；
（2）先求g（x）=x³+（3-a）x，g′（x）=3x²+3-a，根據(jù)已知條件知3x²+3-a≤0在（-1，1）上恒成立．所以a≥3x²+3在（-1，1）上恒成立，因?yàn)閤∈（-1，1）時(shí)，3x²+3＜6，所以得出a≥6．

解答： 解：（1）由已知

a

=(cosθ，-sinθ)，

b

=(sinθ，cosθ)；
∴|

a

|=|

b

|=1；
∴

a

•

b

=cosθsinθ-sinθcosθ=0；
∵

m

⊥

n

；
∴

m

•

n

=[

a

+(x2+3)

b

]•[-y

a

+x

b

]=-y

a

2+x(x2+3)

b

2+[x-y(x2+3)]

a

•

b

=-y+x（x²+3）=0；
∴y=x³+3x；
即f（x）=x³+3x；
（2）g（x）=f（x）-ax=x³+（3-a）x；
g′（x）=3x²+3-a；
∵函數(shù)g（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減；
∴g′（x）≤0在（-1，1）上恒成立，即：
3x²+3-a≤0，a≥3x²+3在x∈（-1，1）上恒成立；
∵x∈（-1，1）時(shí)，3x²+3＜6；
∴a≥6；
∴a的取值范圍為[6，+∞）．

點(diǎn)評：考查根據(jù)向量坐標(biāo)求向量長度，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，以及非零向量垂直的充要條件，函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號的關(guān)系．