已知正方形ABCD，邊長為1，過D作PD⊥平面ABCD，且PD=2，E，F(xiàn)分別是AB和BC的中點(diǎn)．
（1）求直線AC到平面PEF的距離；
（2）求直線PB與平面PEF所成角的余弦值．
考點(diǎn)：直線與平面所成的角,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算
專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析：（1）建立如圖坐標(biāo)系，利用AC∥EF，可得直線AC到平面PEF的距離也即是點(diǎn)A到平面PEF的距離；
（2）平面PEF的法向量為
n
=（4，8，3），cos＜
PB
，
n
＞=
4+8-6
6
•
89
=
6
89
，即可得出結(jié)論．
解答： 解：建立如圖坐標(biāo)系
（1）∵AC∥EF
∴直線AC到平面PEF的距離也即是點(diǎn)A到平面PEF的距離
又A（1，0，0）E（1，
1
2
，0）F（
1
2
，1，0）P（0，0，2）
∴平面的法向量為
n
=（1，2，
3
4
），
故
n0
=（
4
89
，
8
89
，
3
89

又
AE
=（0，
1
2
，0）
∴點(diǎn)A到平面PEF的距離為d=|
AE
•
n0
|=
4
89
89

∴直線AC到平面PEF的距離為
4
89
89

（2）設(shè)所求線面角為α，B（1，1，0），
PB
=（1，1，-2）
又（1）知平面PEF的法向量為
n
=（4，8，3），
cos＜
PB
，
n
＞=
4+8-6
6
•
89
=
6
89

故sinα=
6
89

∴cosα=
83
89
也即為所求值
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線AC到平面PEF的距離，考查直線PB與平面PEF所成角的余弦值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}，其中a1=
1
2
，2an=an-1（n≥2）；等差數(shù)列{bn}，其中b3=2，b5=6．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）在數(shù)列{bn}中是否存在一項(xiàng)bm（m為正整數(shù)），使得 b3，b5，bm成等比數(shù)列，若存在，求m的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=（cos（-θ），sin（-θ）），
b
=（cos（
π
2
-θ），sin（
π
2
-θ）），設(shè)
m
=
a
+（x2+3）
b
，
n
=-y
a
+x
b
，且滿足
m
⊥
n
．
（1）寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（x）；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）-ax在（-1，1）上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知?jiǎng)訄AM恒過定點(diǎn)B（-2，0），且和定圓C：（x-2）2+y2=4外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：如圖，⊙O和⊙O′相切于點(diǎn)A，直線AB和⊙O的另一個(gè)交點(diǎn)為B，和⊙O′的另一個(gè)交點(diǎn)為C，BD，CE分別切⊙O′，⊙O于點(diǎn)B，C．求證：BD∥CE．研究：兩圓外切時(shí)結(jié)論還成立嗎？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=ax2-lnx，其中a＞
1
2
．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)f（x）的最小值為g（a），證明：函數(shù)g（x）沒有零點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件y≤x，x+2y≥-2，則s=（x+1）2+（y-1）2的最小值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，∠B=
π
3

（1）若a=2，b=2
3
，求c的值；
（2）若tanA=2
3
，求tanC的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求下列函數(shù)的定義域：
（1）y=
ln(5-x)
x-4

（2）y=log2（x2-3x+2）

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同步練習(xí)冊答案