Question

如圖所示，在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、H分別是棱BB₁、CC₁、DD₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BH∥平面A₁EFD₁；
（Ⅱ）求直線AF與平面A₁EFD₁所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知容易證明BED₁H為平行四邊形，從而可得BH∥ED₁，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可證BH∥A₁EFD₁
（Ⅱ）過A作AG⊥A₁E，垂足為G．由A₁D₁⊥平面A₁ABB₁可得A₁D₁⊥AG從而可證得AG⊥平面A₁EFD₁．則∠AFG為所求的角，從而可求AF與平面A₁EFD₁所成的角的正弦值

解答：解：（Ⅰ）證明：連接D₁E，BE=

1

2

BB1，HD1=

1

2

DD1，BB1∥DD1，BB₁=DD₁
∴BE∥HD₁，BE=HD₁，即BED₁H為平行四邊形
∴BH∥ED₁
∵BH?平面A₁EFD₁，ED₁?A₁EFD₁
∴BH∥A₁EFD₁（7分）
（Ⅱ）過A作AG⊥A₁E，垂足為G．
∵A₁D₁⊥平面A₁ABB₁，AG⊆A₁ABB₁∴A₁D₁⊥AG，
EA₁∩A₁D₁=A₁∴AG⊥平面A₁EFD₁．
連接FG，則∠AFG為所求的角．（9分）
在△AA₁G中，AG•EA₁=AA₁•AB
∴AG=

2

5

a=

2 5

5

a
連接AC則AC=

2

a∴AF=

2a2+ a2 4

=

3a

2

∴sin∠AFG=

AG

AF

=

4 5

15

∴F與平面A₁EFD₁所成的角的正弦值為

4 5

15

（14分）

點(diǎn)評：直線與平面平行的判定定理是證明直線與平面平行最基本的方法，但其中的關(guān)鍵是要在平面內(nèi)找出與已知直線平行的直線，體現(xiàn)了線線平行與線面平行的相互轉(zhuǎn)化；而線面所成角的求解的關(guān)鍵是先要找出角．