Question

18．已知在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且sin（A+$\frac{π}{6}$）=2cosA．
（1）若cosC=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求證：2a-3c=0；
（2）若B∈（0，$\frac{π}{3}$），且cos（A-B）=$\frac{4}{5}$，求sinB的值．

Answer 1

分析 （1）化簡sin（A+$\frac{π}{6}$）=2cosA可得tanA=$\sqrt{3}$，又A為三角形內(nèi)角．可求sinA的值，又cosC=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，C為三角形內(nèi)角，可求sinC的值，由正弦定理可得：a=sinA•2R，c=sinC•2R，代入等式右邊即可證明．
（2）由B∈（0，$\frac{π}{3}$），可求cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$，由cos（A-B）=$\frac{4}{5}$，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡即可求值．

解答 解：（1）證明：∵sin（A+$\frac{π}{6}$）=2cosA
⇒$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA+$\frac{1}{2}$cosA=2cosA
⇒sinA=$\sqrt{3}$cosA
⇒tanA=$\sqrt{3}$，A為三角形內(nèi)角．
⇒A=$\frac{π}{3}$，sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
又∵cosC=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，C為三角形內(nèi)角，
∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵由正弦定理可得：a=sinA•2R，c=sinC•2R
∴2a-3c=2R×$2×\frac{\sqrt{3}}{2}$-3×$\frac{\sqrt{3}}{3}×2R$=2$\sqrt{3}R$-2$\sqrt{3}R$=0．從而得證．
（2）∵B∈（0，$\frac{π}{3}$），
∴A-B=$\frac{π}{3}$-B∈（0，$\frac{π}{3}$），
∵sin²（A-B）+cos²（A-B）=1，cos（A-B）=$\frac{4}{5}$，
∴sin（A-B）=$\frac{3}{5}$，
則sinB=sin[A-（A-B）]=sinAcos（A-B）-cosAsin（A-B）=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{4}{5}$-$\frac{1}{2}×\frac{3}{5}$=$\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．