Question

14．（1）不等式ax²+5x-2＞0解是$\left\{{\left.x\right|\frac{1}{2}＜x＜2}\right\}$，解不等式ax²-5x+a²-1＞0；
（2）已知關(guān)于X的方程（m+3）x²-2mx+m-1=0有一正根，有一負(fù)根，且負(fù)根的絕對值較大，求m的范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次不等式與對應(yīng)方程的關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出a的值，再解不等式ax²-5x+a²-1＞0；
（2）根據(jù)題意，得出x₁x₂＜0，x₁+x₂＜0，且△＞0；由此列出不等式組，求出m的取值范圍．

解答 解：（1）∵不等式ax²+5x-2＞0解是$\left\{{\left.x\right|\frac{1}{2}＜x＜2}\right\}$，
∴方程ax²+5x-2=0是實(shí)數(shù)根為$\frac{1}{2}$和2，
由根與系數(shù)的關(guān)系，得-$\frac{2}{a}$=$\frac{1}{2}$×2，
解得a=-2；
∴不等式ax²-5x+a²-1＞0可化為
2x²+5x-3＜0，
即（2x-1）（x+3）＜0，
解得-3＜x＜$\frac{1}{2}$，
∴所求不等式的解集為（-3，$\frac{1}{2}$）；
（2）∵關(guān)于x的方程（m+3）x²-2mx+m-1=0有一正根，有一負(fù)根，且負(fù)根的絕對值較大，
∴x₁x₂＜0，x₁+x₂＜0，且△＞0；
由根與系數(shù)的關(guān)系得
x₁x₂=$\frac{m-1}{m+3}$，x₁+x₂=$\frac{2m}{m+3}$，
并且△=4m²-4（m+3）（m-1）＞0，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{m+3≠0}\\{\frac{m-1}{m+3}＜0}\\{\frac{2m}{m+3}＜0}\\{{4m}^{2}-4（m+3）（m-1）＞0}\end{array}\right.$，
解得-3＜m＜0；
∴m的取值范圍是-3＜m＜0．

點(diǎn)評 本題考查了一元二次不等式的解法與應(yīng)用問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．