如圖所示,已知四棱錐P—ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,
AB=BC=PB=PC=2CD,側(cè)面PBC⊥底面ABCD.證明:
(1)PA⊥BD;
(2)平面PAD⊥平面PAB.
證明略
 (1)取BC的中點(diǎn)O,

∵平面PBC⊥平面ABCD,△PBC為等邊三角形,
∴PO⊥底面ABCD.
以BC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),以BC所在直線為x軸,過點(diǎn)O與AB平行的直線為y軸,如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系.
不妨設(shè)CD=1,則AB=BC=2,PO=.
∴A(1,-2,0),B(1,0,0),D(-1,-1,0),P(0,0, ).
∴=(-2,-1,0), ="(1,-2,-" ).
∵·=（-2）×1+(-1)×(-2)+0×(-)=0,
∴⊥,∴PA⊥BD.
(2)取PA的中點(diǎn)M,連接DM,則M（,-1,）.
∵=（,0, ）, =(1,0,-),
∴·=×1+0×(-2)+ ×(-)=0,
∴⊥,即DM⊥PA.
又·=×1+0×0+×（-）=0，
∴⊥，即DM⊥PB.
又∵PA∩PB=P，∴DM⊥平面PAB，
∵DM平面PAD.
∴平面PAD⊥平面PAB.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，分別為
的中點(diǎn)，若．
（１）  求證：；
（２）  求的長(zhǎng)．
 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知空間四點(diǎn)不在同一平面內(nèi)，求證：既不平行也不相交．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中點(diǎn)，
求證：B1C∥平面ODC1.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，△PAD是等腰三角形，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn).求證：MN⊥平面PCD.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知E，F，G，M分別是四面體的棱AD，CD，BD，BC的中點(diǎn)，求證：AM∥平面EFG．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)S為平面外的一點(diǎn)，SA=SB=SC，，若，求證：平面ASC平面ABC。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在直角梯形PBCD中，∠D=∠C=
π
2
，BC=CD=2，PD=4，A為PD的中點(diǎn)，如圖．將△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，點(diǎn)E在SD上，且
SE
=
1
3
SD
，如圖．
（Ⅰ）求證：SA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角E-AC-D的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

下列命題中,正確的是(　　)
A．平面α⊥β,直線m∥α,則m⊥β
B．l⊥平面α,平面β∥直線l,則α⊥β
C．直線l是平面α的一條斜線,且,則α與β必不垂直
D．一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一平面內(nèi)的兩條直線分別平行,則這兩個(gè)平面平行

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