Question

若規(guī)定一種對應(yīng)關(guān)系f（k），使其滿足：
①f（k）=（m，n）（m＜n）且n-m=k；②如果f（k）=（m，n）那么f（k+1）=（n，r）（m，n，r∈N^*）．若已知f（1）=（2，3），則（1）f（2）=

 

；（2）f（n）=

 

．

Answer 1

考點：映射

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題（1）根據(jù)新定義①的法則，結(jié)合f（1）的值，列出相應(yīng)的m、n的值，再根據(jù)新定義②，求出f（2）；本題（2）由

解答： 解：（1）∵f（k）=（m，n）（m＜n）且n-m=k，f（1）=（2，3），
∴m=2，n=3．
∵f（k）=（m，n）那么f（k+1）=（n，r）（m，n，r∈N^*），
∴f（2）=（3，r），其中r-3=2．
∴r=5．
∴f（2）=（3，5）．
（1）記f（1）=（a₁，a₂），f（2）=（a₂，a₃），f（3）=（a₃，a₄），…，f（n）=（a_n，a_n+1）（n∈N^*）．
∵f（1）=（2，3），
∴a₁=2，a₂=3，
a₂-a₁=1，
a₃-a₂=2，
a₄-a₃=3，
…
a_n-a_n-1=n-1，（n≥2，n∈N^*）
∴a_n-a₁=1+2+3+…+（n-1）=

n(n-1)

2

，
∴an=

n2-n

2

+2=

n2-n+4

2

，（n≥2，n∈N^*）．
∵當(dāng)n=1時，a₁=2，

n2-n+4

2

=

1-1+4

2

=2，上式仍成立，
∴an=

n2-n+4

2

，（n∈N^*）．
a_n+1=a_n+n=

n2+n+4

2

．
∴f（n）=（

n2-n+4

2

，

n2+n+4

2

）．
故答案為：（1）（3，5）；（2）（

n2-n+4

2

，

n2+n+4

2

）．

點評：本題考查了新定義問題和遞推數(shù)列求通項的知識，本題要正確理解新定義并加以應(yīng)用，有一定的思維難度，屬于中檔題．