設(shè)數(shù)列{an}滿足,令
(1)試判斷數(shù)列{bn}是否為等差數(shù)列?并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)令,是否存在實(shí)數(shù)a,使得不等式對(duì)一切n∈N*都成立?若存在,求出a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)比較的大。
【答案】分析:(1)利用已知配湊出4an+1+1、4an+1即bn+1、bn的形式,然后根據(jù)等差數(shù)列的定義求解;
(2)構(gòu)造數(shù)列cn=,在(1)的基礎(chǔ)上,求出cn表達(dá)式,利用cn的單調(diào)性求出cn的最大值,從而轉(zhuǎn)化為不等式求解問(wèn)題,進(jìn)而完成對(duì)a的探索.
(3)構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性分n≤2和n≥3兩種情況探索.
解答:解:(1)由已知得,
,(2分)
所以bn+12=bn2+2bn+1,即bn+1=bn+1,
又b1=1,所以數(shù)列{bn}為等差數(shù)列,
通項(xiàng)公式為bn=n(n∈N*).
(2)令cn=,
,

=
所以,數(shù)列{cn}為單調(diào)遞減數(shù)列,(8分)
所以數(shù)列{cn}的最大項(xiàng)為,
若不等式對(duì)一切n∈N*都成立,只需,
解得,
又a>0,a≠1,
所以a的取值范圍為.(12分)
(3)問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為比較nn+1與(n+1)n的大。
設(shè)函數(shù),所以
當(dāng)0<x<e時(shí),f'(x)>0;
當(dāng)x>e時(shí),f'(x)<0.所以f(x)在(0,e)上為增函數(shù);在(e,+∞)上為減函數(shù).
當(dāng)n=1,2時(shí),顯然有nn+1<(n+1)n,
當(dāng)n≥3時(shí),f(n)>f(n+1),即,
所以(n+1)lnn>nln(n+1),即lnnn+1>ln(n+1)n,
所以nn+1>(n+1)n
綜上:當(dāng)n=1,2時(shí),nn+1<(n+1)n,即;
當(dāng)n≥3時(shí),nn+1>(n+1)n.(16分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查數(shù)列、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識(shí),分類討論、化歸思想等數(shù)學(xué)思想方法,以及推理、分析與解決問(wèn)題的能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=0,an+1=can3+1-c,n∈N*,其中c為實(shí)數(shù)
(1)證明:an∈[0,1]對(duì)任意n∈N*成立的充分必要條件是c∈[0,1];
(2)設(shè)0<c<
1
3
,證明:an≥1-(3c)n-1,n∈N*
(3)設(shè)0<c<
1
3
,證明:
a
2
1
+
a
2
2
+…
a
2
n
>n+1-
2
1-3c
,n∈N*

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f(x)=
1
4x+m
(m>0)
,當(dāng)x1、x2∈R且x1+x2=1時(shí),總有f(x1)+f(x2)=
1
2

(1)求m的值;
(2)設(shè)數(shù)列an滿足an=f(
0
n
)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
)
,求an的通項(xiàng)公式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=a,an+1=can+1-c,n∈N*其中a,c為實(shí)數(shù),且c≠0
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式
(Ⅱ)設(shè)a=
1
2
,c=
1
2
,bn=n(1-an),n∈N*,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn;
(Ⅲ)若0<an<1對(duì)任意n∈N*成立,求實(shí)數(shù)c的范圍.(理科做,文科不做)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}滿足:a1=
5
6
,且an=
1
3
an-1+
1
3
(n∈N*,n≥2)
(1)求證:數(shù)列{an-
1
2
}為等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an;
(2)求{an}的前n項(xiàng)和Sn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)n∈N*,不等式組
x>0
y>0
y≤-nx+2n
所表示的平面區(qū)域?yàn)镈n,把Dn內(nèi)的整點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))按其到原點(diǎn)的距離從近到遠(yuǎn)排列成點(diǎn)列:(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn
(1)求(xn,yn);
(2)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=x1an=
y
2
n
(
1
y
2
1
+
1
y
2
2
+…+
1
y
2
n-1
),(n≥2)
,求證:n≥2時(shí),
an+1
(n+1
)
2
 
-
an
n
2
 
=
1
n
2
 
;
(3)在(2)的條件下,比較(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)
與4的大。

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