【題目】如圖,四邊形ABCD與BDEF均為菱形,∠DAB=∠DBF=60°,且FA=FC. (Ⅰ)求證:AC⊥平面BDEF;
(Ⅱ)求證:FC∥平面EAD;
(Ⅲ)求二面角A﹣FC﹣B的余弦值.

【答案】(Ⅰ)證明:設(shè)AC與BD相交于點O, 連接FO.因為四邊形ABCD為菱形,所以AC⊥BD,且O為AC中點. …(1分)
又 FA=FC,所以 AC⊥FO.
因為 FO∩BD=O,
所以 AC⊥平面BDEF.
(Ⅱ)證明:因為四邊形ABCD與BDEF均為菱形,
所以AD∥BC,DE∥BF,
所以 平面FBC∥平面EAD.
又FC平面FBC,所以FC∥平面EAD.
(Ⅲ)解:因為四邊形BDEF為菱形,且∠DBF=60°,
所以△DBF為等邊三角形.
因為O為BD中點,所以FO⊥BD,故FO⊥平面ABCD.
由OA,OB,OF兩兩垂直,建立如圖所示的空間直角坐標系O﹣xyz.
設(shè)AB=2.因為四邊形ABCD為菱形,∠DAB=60°,
則BD=2,所以O(shè)B=1, .所以
所以 ,
設(shè)平面BFC的法向量為 =(x,y,z),
則有 ,
取x=1,得
∵平面AFC的法向量為 =(0,1,0).
由二面角A﹣FC﹣B是銳角,得|cos< , >|= =
所以二面角A﹣FC﹣B的余弦值為

【解析】(Ⅰ)設(shè)AC與BD相交于點O,連接FO.因為四邊形ABCD為菱形,所以AC⊥BD,且O為AC中點.由FA=FC,知AC⊥FO.由此能夠證明AC⊥平面BDEF.(Ⅱ)因為四邊形ABCD與BDEF均為菱形,所以AD∥BC,DE∥BF,平面FBC∥平面EAD.由此能夠證明FC∥平面EAD.(Ⅲ)因為四邊形BDEF為菱形,且∠DBF=60°,所以△DBF為等邊三角形.因為O為BD中點,所以FO⊥BD,故FO⊥平面ABCD.由OA,OB,OF兩兩垂直,建立空間直角坐標系O﹣xyz.設(shè)AB=2.因為四邊形ABCD為菱形,∠DAB=60°,則BD=2,所以 , .求得平面BFC的法向量為 ,平面AFC的法向量為 =(0,1,0).由此能求出二面角A﹣FC﹣B的余弦值.

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