Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=alnx+x2﹣x，其中a∈R．
（Ⅰ）若a＞0，討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f′（x）= +2x﹣1= ，（x＞0），
令g（x）=2x2﹣x+a=2 +a﹣ ，（x＞0），
a≥ 時(shí)，g（x）≥0，即f′（x）≥0，
f（x）在（0，+∞）遞增，
0＜a＜ 時(shí)，令g′（x）＞0，解得：x＞ 或0＜x＜ ，
令g′（x）＜0，解得： ＜x＜ ，
故f（x）在（0， ）遞增，在（ ， ）遞減，
在（ ，+∞）遞增；
（Ⅱ）x=1時(shí)，顯然成立，
x＞1時(shí)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a≥ 在（1，+∞）恒成立，
令h（x）= ，則h′（x）= ，
令m（x）=（﹣2x+1）lnx+x﹣1，（x＞1），
則m′（x）=﹣2lnx+ ＜0，
故m（x）＜m（1）=0，
故h′（x）在（1，+∞）遞減，
而 = =﹣1，
故a≥﹣1
【解析】（Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a≥ 在（1，+∞）恒成立，令h（x）= ，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．