Question

12．已知函數f（x）對一切實數a、b滿足f（a+b）=f（a）•f（b），f（1）=2，（且f（x）恒非零），數列{a_n}的通項a_n=$\frac{{{f^2}（n）+f（2n）}}{f（2n-1）}$（n∈N₊），則數列{a_n}的前n項和=4n．

Answer 1

分析 函數f（x）對一切實數a、b滿足f（a+b）=f（a）•f（b），f（1）=2，可得f（n+1）=f（n）f（1）=2f（n），利用等比數列的通項公式可得f（n），即可得出a_n及其前n項和．

解答 解：∵函數f（x）對一切實數a、b滿足f（a+b）=f（a）•f（b），f（1）=2，
∴f（n+1）=f（n）f（1）=2f（n），
∴數列{f（n）}是等比數列，首項為2，公比為2．
∴f（n）=2ⁿ．
∴數列{a_n}的通項a_n=$\frac{{{f^2}（n）+f（2n）}}{f（2n-1）}$=$\frac{{2}^{2n}+{2}^{2n}}{{2}^{2n-1}}$=4．
∴數列{a_n}的前n項和=4n．
故答案為：4n．

點評 本題考查了等比數列的通項公式，考查了變形能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．