Question

【題目】綠色已成為當(dāng)今世界主題，綠色動(dòng)力已成為時(shí)代的驅(qū)動(dòng)力，綠色能源是未來(lái)新能源行業(yè)的主導(dǎo)．某汽車(chē)公司順應(yīng)時(shí)代潮流，最新研發(fā)了一款新能源汽車(chē)，并在出廠前對(duì)100輛汽車(chē)進(jìn)行了單次最大續(xù)航里程（理論上是指新能源汽車(chē)所裝載的燃料或電池所能夠提供給車(chē)行駛的最遠(yuǎn)里程）的測(cè)試．現(xiàn)對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）估計(jì)這100輛汽車(chē)的單次最大續(xù)航里程的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；

（2）根據(jù)大量的汽車(chē)測(cè)試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為這款汽車(chē)的單次最大續(xù)航里程近似地服從正態(tài)分布，經(jīng)計(jì)算第（1）問(wèn)中樣本標(biāo)準(zhǔn)差的近似值為50．用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值；

（ⅰ）現(xiàn)從該汽車(chē)公司最新研發(fā)的新能源汽車(chē)中任取一輛汽車(chē)，求它的單次最大續(xù)航里程恰好在200千米到350千米之間的概率；

（ⅱ）從該汽車(chē)公司最新研發(fā)的新能源汽車(chē)中隨機(jī)抽取10輛，設(shè)這10輛汽車(chē)中單次最大續(xù)航里程恰好在200千米到350千米之間的數(shù)量為，求；

（3）某汽車(chē)銷(xiāo)售公司為推廣此款新能源汽車(chē)，現(xiàn)面向意向客戶(hù)推出“玩游戲，送大獎(jiǎng)”活動(dòng)，客戶(hù)可根據(jù)拋擲硬幣的結(jié)果，操控微型遙控車(chē)在方格圖上行進(jìn)，若遙控車(chē)最終停在“勝利大本營(yíng)”，則可獲得購(gòu)車(chē)優(yōu)惠券．已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是，方格圖上標(biāo)有第0格、第1格、第2格、…、第50格．遙控車(chē)開(kāi)始在第0格，客戶(hù)每擲一次硬幣，遙控車(chē)向前移動(dòng)一次，若擲出正面，遙控車(chē)向前移動(dòng)一格（從到），若擲出反面，遙控車(chē)向前移動(dòng)兩格（從到），直到遙控車(chē)移到第49格（勝利大本營(yíng)）或第50格（失敗大本營(yíng)）時(shí)，游戲結(jié)束．設(shè)遙控車(chē)移到第格的概率為，其中，試說(shuō)明是等比數(shù)列，并解釋此方案能否成功吸引顧客購(gòu)買(mǎi)該款新能源汽車(chē).

參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，.

Answer 1

【答案】（1）300；（2）（i）；（ii）；（3）見(jiàn)解析，此方案能成功吸引顧客購(gòu)買(mǎi)該款新能源汽車(chē).

【解析】

（1）利用頻率分布直方圖的平均數(shù)的計(jì)算方法即可得出．

（2）（ⅰ）由，．利用正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性可得．

（ⅱ）依題意有，再利用二項(xiàng)分布的期望公式計(jì)算可得；

（3）遙控車(chē)開(kāi)始在第0 格為必然事件，．第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，遙控車(chē)移到第一格，其概率為，即．遙控車(chē)移到第格的情況是下面兩種，而且只有兩種：①遙控車(chē)先到第格，又?jǐn)S出反面，其概率為．②遙控車(chē)先到第格，又?jǐn)S出正面，其概率為．可得：．變形為．即可證明時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．利用，及其求和公式即可得出．可得獲勝的概率，失敗的概率．進(jìn)而得出結(jié)論．

（1）（千米）.

（2）（i）由.

.

（ⅱ）依題意有，所以.

（3）第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，遙控車(chē)移到第一格，其概率為，即.

遙控車(chē)移到第格的情況是下面兩種，而且只有兩種；

①遙控車(chē)先到第格，又?jǐn)S出反面，其概率為.

②遙控車(chē)先到第格，又?jǐn)S出正面，其概率為.

，.

時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．

，，，…，.

.

∴獲勝的概率，

失敗的概率.

.

∴獲勝的概率大.

∴此方案能成功吸引顧客購(gòu)買(mǎi)該款新能源汽車(chē)．