Question

已知雙曲線(xiàn)

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線(xiàn)與拋物線(xiàn)y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線(xiàn)分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若雙曲線(xiàn)的離心率為

2

，△AOB的面積為1，則p=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì),拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出雙曲線(xiàn)

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的漸近線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線(xiàn)方程，進(jìn)而求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由雙曲線(xiàn)的離心率為

2

，△AOB的面積為1列出方程，由此方程求出p的值．

解答： 解：∵雙曲線(xiàn)

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
∴雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是y=±

b

a

x，
又拋物線(xiàn)y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線(xiàn)方程是x=-

p

2

，
故A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是y=±

pb

2a

，
又由雙曲線(xiàn)的離心率為

2

，所以

c

a

=

2

，則a=b，
A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是y=±

p

2

，
又△AOB的面積為1，x軸是角AOB的角平分線(xiàn)，
∴

1

2

•

p

2

•p=1，得p=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線(xiàn)的共同特征，解題的關(guān)鍵是求出雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，解出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，列出三角形的面積與離心率的關(guān)系．