Question

已知一個數(shù)列的通項公式為f（n），n∈N*，若7f（n）=f（n-1）（n≥2）且f（1）=3，則

lim

n→∞

[f（1）+f（2）+…+f（n）]等于（　�。�

• A、

  7

  2

• B、

  3

  7

• C、-7
• D、-

  7

  2

Answer 1

考點：數(shù)列的極限

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由f（1）=3，7f（n）=f（n-1）（n≥2）可知數(shù)列{f（n）}為首項為3，公比為

1

7

的等比數(shù)列，于是可得其通項公式，繼而可得其前n項和的關系式，對此式取極限即可．

解答： 解：∵f（1）=3≠0，7f（n）=f（n-1）（n≥2），∴

f(n)

f(n-1)

=

1

7

．
∴數(shù)列{f（n）}為首項為3，公比為

1

7

的等比數(shù)列．
∴f（n）=3•（

1

7

）^n-1．
由公比不為1的等比數(shù)列的前n項和公式，得
S_n=

3[1-( 1 7 )n]

1- 1 7

=

7

2

[1-(

1

7

)n]．
∴

lim

n→∞

[f(1)+f(2)+…+f(n)]=

lim

n→∞

7

2

[1-(

1

7

)n]=

7

2

．
故選：A．

點評：本題考查數(shù)列的極限，考查等比關系的確定及其通項公式、求和公式的綜合應用，求得f（1）+f（2）+…+f（n）=

7

2

[1-(

1

7

)n]是關鍵，屬于中檔題．