Question

已知a，b，c∈R，且三次方程f（x）=x³-ax²+bx-c=0有三個實根x₁，x₂，x₃．
（1）類比一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，寫出此方程根與系數(shù)的關(guān)系；
（2）若a∈Z，b∈Z且|b|＜2，f（x）在x=α，x=β處取得極值且-1＜α＜0＜β＜1，試求此方程三個根兩兩不等時c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知，x³+ax²-bx+c=（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃），比較兩邊系數(shù)，即得結(jié)果；
（2）由已知f′（x）=3x²-2ax+b=0有兩個不等的實根α，β，因為-1＜α＜0＜β＜1，根據(jù)實根分布，列出關(guān)于c的不等關(guān)系，解之得此方程三個根兩兩不等時c的取值范圍．

解答：解：（1）由已知，得x³-ax²+bx-c=（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃），比較兩邊系數(shù)，
得a=x₁+x₂+x₃，b=x₁x₂+x₂x₃+x₃x₁，c=x₁x₂x₃．          …（4分）
（2）令f（x）=x³-ax²+bx-c，要f（x）=0有三個不等的實數(shù)根，則函數(shù)f（x）有一個極大值和一個極小值，且極大值大于0，極小值小于0．  …（5分）
由已知，得f′（x）=3x²-2ax+b=0有兩個不等的實根α，β，
∵-1＜α＜0＜β＜1，
∴

f′(-1)=3+2a+b＞0  (1) f′(0)=b＜0 (2) f′(1)=3-2a+b＞0(3)

得-3＜b＜0．…（6分）
又|b|＜2，b∈Z，∴b=-1，將b=-1代入（1）（3），有-1＜a＜1，又a∈Z，∴a=0．
∴f（x）=x³-x-c，f′（x）=3x²-1，…（8分）
則α=-

3

3

，β=

3

3

，且f（x）在x=-

3

3

處取得極大值，在x=

3

3

處取得極小值…（10分）      
故f（x）=0要有三個不等的實數(shù)根，
則必須

f(- 3 3 )=(- 3 3 )3-(- 3 3 )-c＞0 f( 3 3 )=( 3 3 )3- 3 3 -c＜0

…（12分）
⇒

c＞- 2 3 9 c＜ 2 3 9

，
解得-

2 3

9

＜c＜

2 3

9

．                                         …（14分）

點評：本小題主要考查類比推理、函數(shù)在某點取得極值的條件、一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．