Question

3．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且∠AOB=90°．
（Ⅰ）若直線l平行于x軸，求△AOB的面積；
（Ⅱ）若直線l始終與圓x²+y²=r²（r＞0）相切，求r的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意設(shè)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合∠AOB=90°，得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，進(jìn)一步得到A的橫縱坐標(biāo)的關(guān)系，代入橢圓方程求得坐標(biāo)，得到B的坐標(biāo)，然后代入三角形的面積公式得答案；
（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)其方程為y=kx+m，聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得到關(guān)于x的一元二次方程，寫出判別式大于0，再由根與系數(shù)關(guān)系得到A，B兩點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的和與積，代入x₁x₂+y₁y₂=0得到m與k的關(guān)系，結(jié)合判別式大于0求得m的范圍，再由直線l始終與圓x²+y²=r²（r＞0）相切，得到圓的半徑與m的關(guān)系，從而求得r的值，當(dāng)直線l的斜率不存在時，由直線l與圓x²+y²=r²（r＞0）相切直接求得r的值，則r值可求．

解答 解：（Ⅰ）不妨設(shè)直線l在x軸上方，則A，B兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，
設(shè)A（x₁，y₁），B（-x₁，y₁），（x₁＜0，y₁＞0），
則$\overrightarrow{OA}=（{x}_{1}，{y}_{1}），\overrightarrow{OB}=（-{x}_{1}，{y}_{1}）$，
由∠AOB=90°，得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，∴${{y}_{1}}^{2}={{x}_{1}}^{2}$．
又∵點(diǎn)A在橢圓上，∴$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+{{y}_{1}}^{2}=1$．
由于x₁＜0，解得：${x}_{1}=-\frac{2}{5}\sqrt{5}，{y}_{1}=\frac{2}{5}\sqrt{5}$．
則A（$-\frac{2}{5}\sqrt{5}，\frac{2}{5}\sqrt{5}$），B（$\frac{2}{5}\sqrt{5}，\frac{2}{5}\sqrt{5}$）．
∴${S}_{△OAB}=\frac{1}{2}×\frac{4\sqrt{5}}{5}×\frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{4}{5}$．
（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)其方程為y=kx+m，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，整理得：（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0．
方程的判別式△=4k²-m²+1＞0，
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-8km}{4{k}^{2}+1}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$．
由∠AOB=90°，得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即x₁x₂+y₁y₂=0．
而y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m），
則${x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}=（{k}^{2}+1）{x}_{1}{x}_{2}+mk（{x}_{1}+{x}_{2}）$+m²=0
∴$（1+{k}^{2}）\frac{4{m}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}+mk\frac{-8km}{4{k}^{2}+1}+{m}^{2}=0$．
整理得：5m²-4k²-4=0．
把4k²=5m²-4代入△=4k²-m²+1＞0，得${m}^{2}＞\frac{3}{4}$．
而4k²=5m²-4≥0，∴${m}^{2}≥\frac{4}{5}$，滿足${m}^{2}＞\frac{3}{4}$．
直線l始終與圓x²+y²=r²（r＞0）相切，得
${r}^{2}=\frac{{m}^{2}}{1+{k}^{2}}$，由${m}^{2}=\frac{4}{5}{k}^{2}+\frac{4}{5}$，得${r}^{2}=\frac{4}{5}$．
∵r＞0，∴r=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
當(dāng)直線l的斜率不存在時，若直線l與圓x²+y²=r²（r＞0）相切，
此時直線l的方程為：x=$±\frac{2\sqrt{5}}{5}$，r=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
綜上所述：r=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了向量在解圓錐曲線問題中的應(yīng)用，考查了直線與圓錐曲線，圓與圓錐曲線的位置關(guān)系，涉及直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問題，常采用聯(lián)立直線和圓錐曲線，利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系求解，特點(diǎn)是運(yùn)算量大，要求考生具有較強(qiáng)的運(yùn)算能力，是壓軸題．