Question

18．函數(shù)f（x）=ax²+2bx-（a+b），其中a，b為正實(shí)數(shù)，求函數(shù)f（x）的圖象截x軸所得線段的長(zhǎng)度的取值范圍．

Answer 1

分析 設(shè)x₁，x₂是方程ax²+2bx-（a+b）=0的兩個(gè)根，從而由根與系數(shù)的關(guān)系得（x₁-x₂）²=$\frac{4^{2}}{{a}^{2}}$+4$\frac{a}$+4，從而解得．

解答 解：由題意，設(shè)x₁，x₂是方程ax²+2bx-（a+b）=0的兩個(gè)根，
則x₁+x₂=-$\frac{2b}{a}$，x₁x₂=-$\frac{（a+b）}{a}$；
則（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂
=$\frac{4^{2}}{{a}^{2}}$+4×$\frac{（a+b）}{a}$
=$\frac{4^{2}}{{a}^{2}}$+4×$\frac{a}$+4，
∵a，b為正實(shí)數(shù)，
∴$\frac{4^{2}}{{a}^{2}}$+4×$\frac{a}$+4＞4，
即|x₁-x₂|＞2，
即函數(shù)f（x）的圖象截x軸所得線段的長(zhǎng)度的取值范圍為（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)與二次方程的關(guān)系應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．