若存在常數(shù)k和b,使得函數(shù)f(x)和g(x)在它們的公共定義域上的任意實數(shù)x分別滿足:f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b,則稱直線l:y=kx+b為函數(shù)f(x)和g(x)的“隔離直線”.已知f(x)=x2,g(x)=2elnx.
(I)求F(x)=f(x)-g(x)的極值;
(II)函數(shù)f(x)和g(x)是否存在隔離直線?若存在,求出此隔離直線的方程,若不存在,請說明理由.
分析:(1)根據(jù)求導(dǎo)公式,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性并求極值
(2)由(1)可知,函數(shù)f(x)和g(x)的圖象在x=
e
處有公共點,因此存在f(x)和g(x)的隔離直線,那么該直線過這個公共點,設(shè)隔離直線的斜率為k.則隔離直線方程為y-e=k(x-
e
,即y=kx-k
e
+e,構(gòu)造函數(shù),求出函數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值
解答:解:(1)∵F(x)=f(x)-g(x)=x2-2clnx(x>0),
∴F′(x)=2x-
2c
x
=(2x2-2c)/x=
2(x-
e
)(x+
e
x

令F′(X)=0,得x=
e
,
當(dāng)0<x<
e
時,F(xiàn)′(X)<0,X>
e
時,F(xiàn)′(x)>0
故當(dāng)x=
e
時,F(xiàn)(x)取到最小值,最小值是0
(2)由(1)可知,函數(shù)f(x)和g(x)的圖象在x=
e
處有公共點,因此存在f(x)和g(x)的隔離直線,那么該直線過這個公共點,設(shè)隔離直線的斜率為k.則隔離直線方程為y-e=k(x-
e
,即y=kx-k
e
+e
由f(x)≥kx-k
e
+e(x?R),可得x2-kx-k
e
+e,
由f(x)≥kx-k
e
+e(x?R),可得x2-kx+k
e
-e≥0當(dāng)x?R恒成立,
則△=k2-4k
e
+4e=(k-2
c
2≤0,只有k=2
e
,此時直線方程為:y=2
e
x-e,
下面證明g(x)≤2
e
x-eexx>0時恒成立
令G(x)=2
e
x-e-g(x)=2
e
x-e-2elnx,
G′(X)=2
c
-
2c
x
=(2
c
x-2c)/x=2
c
(x-
e
)/x,
當(dāng)x=
e
時,G′(X)=0,當(dāng)0<x<
e
時G′(X)>0,
則當(dāng)x=
e
時,G(x)取到最小值,極小值是0,也是最小值.
所以G(x)=2
e
x-e-g(x)≥0,則g(x)≤2
e
x-e當(dāng)x>0時恒成立.
∴函數(shù)f(x)和g(x)存在唯一的隔離直線y=2
e
x-e
點評:考查函數(shù)的求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)求最值,屬于簡單題,主要做題要仔細(xì).
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•臨沂二模)已知函數(shù)f(x)=elnx,g(x)=lnx-x-1,h(x)=
1
2
x2

(Ⅰ)求函數(shù)g(x)的極大值.
(Ⅱ)求證:存在x0∈(1,+∞),使g(x0)=g(
1
2
)
;
(Ⅲ)對于函數(shù)f(x)與h(x)定義域內(nèi)的任意實數(shù)x,若存在常數(shù)k,b,使得f(x)≤kx+b和h(x)≥kx+b都成立,則稱直線y=kx+b為函數(shù)f(x)與h(x)的分界線.試探究函數(shù)f(x)與h(x)是否存在“分界線”?若存在,請給予證明,并求出k,b的值;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若存在實常數(shù)k和b,使函數(shù)f(x)和g(x)對其定義域上的任意實數(shù)x恒有:f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b,則稱直線l:y=kx+b為f(x)和g(x)的“隔離直線”.已知h(x)=x2,φ(x)=2elnx,則可推知h(x),φ(x)的“隔離直線”方程為
y=2
e
x-e
y=2
e
x-e

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)求證:“{an}是等差數(shù)列”的充要條件是“存在常數(shù)k和b,使an=kn+b對一切n∈N*都成立”;
(2)試問:是否存在等差數(shù)列{an}滿足an=an2-nan+1(n∈N*)?若存在,請求出通項公式;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年江蘇省高三12月練習(xí)數(shù)學(xué)試卷 題型:填空題

若存在實常數(shù)k和b,使函數(shù)對其定義域上的任意實數(shù)x恒有:

,則稱直線 的“隔離直線”。

已知,則可推知的“隔離直線”方程為   ▲     

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013年山東省臨沂市高考數(shù)學(xué)二模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知函數(shù)
(Ⅰ)求函數(shù)g(x)的極大值.
(Ⅱ)求證:存在x∈(1,+∞),使;
(Ⅲ)對于函數(shù)f(x)與h(x)定義域內(nèi)的任意實數(shù)x,若存在常數(shù)k,b,使得f(x)≤kx+b和h(x)≥kx+b都成立,則稱直線y=kx+b為函數(shù)f(x)與h(x)的分界線.試探究函數(shù)f(x)與h(x)是否存在“分界線”?若存在,請給予證明,并求出k,b的值;若不存在,請說明理由.

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