Question

已知函數(shù)f（x）都任意的a、b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，且x＞0時(shí)，f（x）＞1．
（1）判定f（x）在R上的單調(diào)性；
（2）若f（4）=5，解不等式f（3m²-m-2）＜3．

Answer 1

解：（1）任取x₁＜x₂，可得x₂-x₁＞0．
∵x＞0時(shí)，f（x）＞1，∴f（x₂-x₁）＞1．
因此，f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）+f（x₂-x₁）-1＞f（x₁），
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）是R上的增函數(shù)．
（2）∵f（4）=f（2）+f（2）-1=5，∴f（2）=3．
因此，f（3m²-m-2）＜3=f（2）．
又由（1）的結(jié)論知，f（x）是R上的增函數(shù)，
∴3m²-m-2＜2，化簡得3m²-m-4＜0，解之得-1＜m＜
所以不等式f（3m²-m-2）＜3的解集為（-1，）
分析：（1）任取x₁＜x₂，得x₂-x₁＞0．由當(dāng)x＞0時(shí)f（x）＞1，得到f（x₂-x₁）＞1，再對f（x₂）按照題中對應(yīng)法則變形，化簡得到f（x₁）＜f（x₂），可得f（x）是R上的增函數(shù)．
（2）由f（4）=f（2）+f（2）-1算出得f（2）=3，因此將f（3m²-m-2）＜3轉(zhuǎn)化為f（3m²-m-2）＜f（2），由（1）中的單調(diào)性結(jié)論，解關(guān)于x的一元二次不等式，即可得到所求不等式的解集．
點(diǎn)評：本題給出抽象函數(shù)，證明函數(shù)的單調(diào)性并求關(guān)于x的不等式的解集，著重考查了函數(shù)的單調(diào)性、一元二次不等式的解法和抽象函數(shù)的理解等知識點(diǎn)，屬于中檔題．