Question

7．已知函數(shù)f（x）=lnx-a（x-1），g（x）=e^x．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）過原點分別作曲線y=f（x）與y=g（x）的切線l₁、l₂，已知兩切線的斜率互為倒數(shù)，證明：a=0或$\frac{e-1}{e}$＜a＜$\frac{{e}^{2}-1}{e}$；
（3）設(shè)h（x）=f（x+1）+g（x），當(dāng)x≥0時，h（x）≥1，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，注意對參數(shù)a的分類討論；
（2）背景為指數(shù)函數(shù)y=e^x與對數(shù)函數(shù)y=lnx關(guān)于直線y=x對稱的特征，得到過原點的切線也關(guān)于直線y=x對稱，主要考查利用導(dǎo)函數(shù)研究曲線的切線及結(jié)合方程有解零點存在定理的應(yīng)該用求參數(shù)的問題，得到不等式的證明；
（3）利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)的最值和不等式的恒成立求參數(shù)的范圍問題，求導(dǎo)過程中用到了課后習(xí)題e^x≥x+1這個結(jié)論，考查學(xué)生對課本知識的掌握程度．

解答 （1）解：依題意，函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），對f（x）求導(dǎo)，得f′（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$．
①若a≤0，對一切x＞0有f'（x）＞0，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）．
②若a＞0，當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{a}$）時，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（$\frac{1}{a}$，+∞）時，f'（x）＜0．
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，$\frac{1}{a}$），單調(diào)遞減區(qū)間是（$\frac{1}{a}$，+∞）．               
（2）解：設(shè)切線l₂的方程為y=k₂x，切點為（x₂，y₂），則y₂=${e}^{{x}_{2}}$，k2=g′（x₂）=e^x2=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$，
所以x₂=1，y₂=e，則k₂=e^x2=e．
由題意知，切線l₁的斜率為k₁=$\frac{1}{{k}_{2}}$=$\frac{1}{e}$，l₁的方程為y=k₁x=$\frac{1}{e}$x．
設(shè)l₁與曲線y=f（x）的切點為（x₁，y₁），則k₁=f′（x₁）=$\frac{1}{{x}_{1}}$-a=$\frac{1}{e}$=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$，
所以y₁=$\frac{{x}_{1}}{e}$=1-ax₁，a=$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{e}$．
又因為y₁=lnx₁-a（x₁-1），消去y₁和a后，整理得lnx₁-1+$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{e}$=0．      
令m（x）=lnx-1+$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{e}$=0，則m′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
m（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
若x₁∈（0，1），因為m（$\frac{1}{e}$）=-2+e-$\frac{1}{e}$＞0，m（1）=-$\frac{1}{e}$＜0，所以x1∈（$\frac{1}{e}$，1），
而a=$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{e}$在x₁∈（$\frac{1}{e}$，1）上單調(diào)遞減，所以 $\frac{e-1}{e}$＜a＜$\frac{{e}^{2}-1}{e}$．
若x₁∈（1，+∞），因為m（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，且m（e）=0，則x₁=e，
所以a=$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{e}$=0（舍去）．
綜上可知，$\frac{e-1}{e}$＜a＜$\frac{{e}^{2}-1}{e}$
（3）證明：h（x）=f（x+1）+g（x）=ln（x+1）-ax+e^x，h′（x）=ex+$\frac{1}{x+1}$-a．
①當(dāng)a≤2時，因為e^x≥x+1，所以h′（x）=ex+$\frac{1}{x+1}$-a≥x+1+$\frac{1}{x+1}$-a≥2-a≥0，
h（x）在[0，+∞）上遞增，h（x）≥h（0）=1恒成立，符合題意．
②當(dāng)a＞2時，因為h″（x）=ex-$\frac{1}{{（x+1）}^{2}}$=$\frac{{{（x+1）}^{2}e}^{x}-1}{{（x+1）}^{2}}$≥0，
所以h′（x）在[0，+∞）上遞增，且h′（0）=2-a＜0，則存在x₀∈（0，+∞），使得h′（0）=0．
所以h（x）在（0，x₀）上遞減，在（x₀，+∞）上遞增，
又h（x₀）＜h（0）=1，所以h（x）≥1不恒成立，不合題意．                                                                  
綜合①②可知，所求實數(shù)a的取值范圍是（-∞，2]．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線問題及研究不等式恒成立問題．