Question

【題目】已知橢圓 ， 是坐標(biāo)原點(diǎn)， 分別為其左右焦點(diǎn)， , 是橢圓上一點(diǎn)， 的最大值為

（Ⅰ）求橢圓的方程;

（Ⅱ）若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且

（i）求證： 為定值;

（ii）求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）由橢圓對(duì)稱(chēng)性可得M為短軸端點(diǎn)B時(shí)取最大值，因此根據(jù)直角三角形可得，（2）（i）解幾中證明題一般方法為以算代證，先由直線方程與橢圓方程聯(lián)立，解出坐標(biāo)（用直線斜率表示），代入可得定值，最后驗(yàn)證斜率不存在的情況也滿(mǎn)足（ii）因?yàn)?/span>，所以面積為,再將（i）坐標(biāo)（用直線斜率表示）代入，得關(guān)于直線斜率的一元函數(shù)關(guān)系，利用基本不等式求最值，確定函數(shù)取值范圍.

試題解析：（1）由題意得，得橢圓方程為：

（2）

i)當(dāng)斜率都存在且不為0時(shí)，設(shè)，

由消得，

同理得，

故

當(dāng)斜率一個(gè)為0，一個(gè)不存在時(shí)，得

綜上得，得證。

ii) 當(dāng)斜率都存在且不為0時(shí)，

又

所以

當(dāng)斜率一個(gè)為0，一個(gè)不存在時(shí),

綜上得