Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=﹣x2+2|x﹣a|，x∈R．
（1）若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，求實數(shù)a的值；
（2）當x=﹣1時，函數(shù)f（x）在x=﹣1取得最大值，求實數(shù)a的取值范圍．
（3）若函數(shù)f（x）有三個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：任取x∈R，則f（﹣x）=f（x）恒成立，

即﹣（﹣x）2+2|﹣x﹣a|=﹣x2+2|x﹣a|恒成立，

∴|x﹣a|=|x+a|恒成立，

兩邊平方得：x2﹣2ax+a2=x2+2ax+a2，

∴a=0；

（2）解： ，因為函數(shù)y=f（x）在x=﹣1時取得最大值，

當a≥1時，必須f（﹣1）≥f（a），即1+2a≥﹣a2+2a﹣2a，即（a+1）2≥0，所以a≥1適合題意；

當﹣1＜a＜1時，必須f（﹣1）≥f（1），即1+2a≥1﹣2a，即a≥0，所以0≤a＜1適合題意；

當a≤﹣1時，因為f（﹣1）＜f（1），不合題意，

綜上，實數(shù)a的取值范圍是[0，+∞）．

（3）解： ，

， ，

當△1=0時， ，此時函數(shù) 有三個零點1， ；

當△2=0時， ，此時函數(shù) 有三個零點 ；

當△1＞0，△2＞0時，即 時，方程﹣x2+2x﹣2a=0的兩根為 ，

方程﹣x2﹣2x+2a=0的兩根為 ，

因為 ，所以 且 ，解得a=0，

或者 且 ，此時無解，

綜上得 或0．

【解析】（1）由偶函數(shù)的定義，可得f（﹣x）=f（x），化簡整理可得a=0；（2）去絕對值，運用分段函數(shù)的形式，寫出f（x），討論當a≥1時，當﹣1＜a＜1時，當a≤﹣1時，考慮最大值，解不等式即可得到a的范圍；（3）去絕對值，運用分段函數(shù)的形式，寫出f（x），討論兩個二次函數(shù)的判別式，等于0或大于0，解方程（或不等式）即可得到a的值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數(shù)的最值及其幾何意義(利用二次函數(shù)的性質（配方法）求函數(shù)的最大（�。┲�；利用圖象求函數(shù)的最大（�。┲�；利用函數(shù)單調性的判斷函數(shù)的最大（小）值)，還要掌握二次函數(shù)的性質(增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小)的相關知識才是答題的關鍵．