Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=AD=AB=2BC=2，過(guò)AD的平面分別交PB，PC于M，N兩點(diǎn)．

（1）求證：MN∥BC；
（2）若M，N分別為PB，PC的中點(diǎn)，
①求證：PB⊥DN；
②求二面角P﹣DN﹣A的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：因?yàn)榈酌鍭BCD為直角梯形，所以BC∥AD．

因?yàn)锽C平面ADNM，AD平面ADNM，

所以BC∥平面ADNM．

因?yàn)锽C平面PBC，平面PBC∩平面ADNM=MN，

所以MN∥BC．

（2）解：①因?yàn)镸，N分別為PB，PC的中點(diǎn)，PA=AB，

所以PB⊥MA．

因?yàn)椤螧AD=90°，所以DA⊥AB．

因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以DA⊥PA．

因?yàn)镻A∩AB=A，所以DA⊥平面PAB．所以PB⊥DA．

因?yàn)锳M∩DA=A，所以PB⊥平面ADNM，

因?yàn)镈N平面ADNM，所以PB⊥DN．

解：②如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz．

則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．

由（2）知，PB⊥平面ADNM，所以平面ADNM的法向量為 =（﹣2，0，2）．

設(shè)平面PDN的法向量為 =（x，y，z），

因?yàn)? ， ，

所以 ．

令z=2，則y=2，x=1．所以 =（1，2，2），

所以cos＜ ＞= = = ．

所以二面角P﹣DN﹣A的余弦值為

【解析】（1）推導(dǎo)出BC∥AD，從而B(niǎo)C∥平面ADNM，由此能證明MN∥BC．（2）①推導(dǎo)出PB⊥MA，DA⊥AB，從而DA⊥PA．再由PB⊥DA，得PB⊥平面ADNM，由此能證明PB⊥DN．②以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz利用向量法能求出二面角P﹣DN﹣A的余弦值．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，需要了解相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)才能得出正確答案．