Question

【題目】已知橢圓的離心率為，點在橢圓上．

（1）求橢圓的方程;

（2）設(shè)動直線與橢圓有且僅有一個公共點，判斷是否存在以原點為圓心的圓，滿足此圓與相交兩點，（兩點均不在坐標軸上），且使得直線，的斜率之積為定值？若存在，求此圓的方程與定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），（2）存在符合條件的圓，且此圓的方程為，定值為

【解析】

（1）利用離心率和點在橢圓上列出方程，解出即可

（2）當直線的斜率存在時，設(shè)的方程為，先將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用直線與橢圓有且僅有一個公共點，推出，然后通過直線與圓的方程聯(lián)立，

設(shè)，，結(jié)合韋達定理，求解直線的斜率乘積，推出為定值，然后再驗證直線的斜率不存在時也滿足即可

（1）由題意得：，

又因為點在橢圓上

所以

解得

所以橢圓的標準方程為：

（2）結(jié)論：存在符合條件的圓，且此圓的方程為

證明如下：

假設(shè)存在符合條件的圓，且設(shè)此圓的方程為：

當直線的斜率存在時，設(shè)的方程為

由方程組得

因為直線與橢圓有且僅有一個公共點

所以

即

由方程組得

則

設(shè)，，則

設(shè)直線，的斜率分別為，

所以

將代入上式得

要使得為定值，則，即

所以當圓的方程為時，

圓與的交點，滿足為定值

當直線的斜率不存在時，由題意知的方程為

此時圓與的交點，也滿足為定值

綜上：當圓的方程為時，

圓與的交點，滿足為定值