Question

1．①若正實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+2b+3c=8，求$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$+$\frac{3}{c}$的最小值．
②若a，b，c均為正實(shí)數(shù)，求證：a+$\frac{1}$，b+$\frac{1}{c}$，c+$\frac{1}{a}$的值至少有一個(gè)不小于2．

Answer 1

分析 ①利用“1”的代換，結(jié)合基本不等式，即可求$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$+$\frac{3}{c}$的最小值．
②假設(shè)a+$\frac{1}$，b+$\frac{1}{c}$，c+$\frac{1}{a}$都小于2，相加可得（a+$\frac{1}$）+（b+$\frac{1}{c}$）+（c+$\frac{1}{a}$）＜6，再結(jié)合基本不等式，引出矛盾，即可得出結(jié)論．

解答 ①解：（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$+$\frac{3}{c}$）•$\frac{a+2b+3c}{8}$=1+4+9+2（$\frac{a}$+$\frac{a}$）+3（$\frac{a}{c}$+$\frac{c}{a}$）+6（$\frac{c}$+$\frac{c}$）≥36
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立；…（6分）
②證明：假設(shè)a+$\frac{1}$，b+$\frac{1}{c}$，c+$\frac{1}{a}$都小于2，則a+$\frac{1}$＜2，b+$\frac{1}{c}$＜2，c+$\frac{1}{a}$＜2，
∴（a+$\frac{1}$）+（b+$\frac{1}{c}$）+（c+$\frac{1}{a}$）＜6．
又∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴（a+$\frac{1}$）+（b+$\frac{1}{c}$）+（c+$\frac{1}{a}$）=（a+$\frac{1}{a}$）+（b+$\frac{1}$）+（c+$\frac{1}{c}$）≥2+2+2=6．
與（a+$\frac{1}$）+（b+$\frac{1}{c}$）+（c+$\frac{1}{a}$）＜6矛盾．
故a+$\frac{1}$，b+$\frac{1}{c}$，c+$\frac{1}{a}$中至少有一個(gè)不小于2．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 用反證法證明數(shù)學(xué)命題的方法和步驟，把要證的結(jié)論進(jìn)行否定，得到要證的結(jié)論的反面，是解題的突破口，屬于中檔題．