Question

某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的產(chǎn)值函數(shù)為R（x）=3700x+45x²-10x³（單位：萬元），成本函數(shù)C（x）=460x+5000（單位：萬元）
（1）求利潤函數(shù)P（x）；（提示：利潤=產(chǎn)值-成本）
（2）問年造船量安排多少艘時，可使公司造船的年利潤最大？

Answer 1

解：（1）根據(jù)利潤=產(chǎn)值-成本，因為造船x艘的產(chǎn)值函數(shù)為R（x）=3700x+45x²-10x³，成本函數(shù)C（x）=460x+5000
所以P（x）=R（x）-C（x）=-10x³+45x²+3240x-5000（x∈N^*，且1≤x≤20）；
（2）P′（x）=-30x²+90x+3240=-30（x-12）（x+9），
∵x＞0，∴P′（x）=0時，x=12，
∴當(dāng)0＜x＜12時，P′（x）＞0，當(dāng)x＞12時，P′（x）＜0，
∴x=12時，P（x）有最大值．
即年造船量安排12艘時，可使公司造船的年利潤最大．
分析：（1）根據(jù)利潤=產(chǎn)值-成本，利用已知中的產(chǎn)值函數(shù)與成本函數(shù)，可得得出利潤函數(shù)P（x）；
（2）先對利潤函數(shù)P（x）求導(dǎo)數(shù)，研究它的單調(diào)性，從而求得其最大值，即可得出年造船量安排多少艘時，可使公司造船的年利潤最大．
點評：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題，關(guān)鍵是要建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，當(dāng)函數(shù)定義域是開區(qū)間且在區(qū)間上只有一個極值時，這個極值就是它的最值．