Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2}{x}$+alnx─2．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線與直線y=$\frac{1}{3}$x+1垂直，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）記g（x）=f（x）+x─b（b∈R），當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)g（x）在區(qū)間[e^─1，e]上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)f（x）的定義域和導(dǎo)函數(shù)f′（x），再由兩直線垂直的條件可得f′（1）=-3，求出a的值；
（2）求出f′（x），對(duì)a討論，由f′（x）＞0和f′（x）＜0進(jìn)行求解，即判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）由（1）和題意求出g（x）的解析式，求出g′（x），由g′（x）＞0和g′（x）＜0進(jìn)行求解，即判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再由條件和函數(shù)零點(diǎn)的幾何意義列出不等式組，求出b的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$，
由切線與直線y=$\frac{1}{3}$x+1垂直，即有f（x）在點(diǎn)P處的切線斜率為-3，
∴f′（1）=-2+a=-3⇒a=-1；
（2）f′（x）=$\frac{ax-2}{{x}^{2}}$．當(dāng)a=0時(shí)，f（x）單調(diào)減區(qū)間為（0，+∞），
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）＞0⇒f（x）單調(diào)增區(qū)間為（$\frac{2}{a}$，+∞）；
令f′（x）＜0⇒f（x）單調(diào)減區(qū)間為（0，$\frac{2}{a}$）．
當(dāng)a＜0時(shí)，∵x＞0，∴f′（x）=$\frac{ax-2}{{x}^{2}}$＜0⇒f（x）單調(diào)減區(qū)間為（0，+∞）．
綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（$\frac{2}{a}$，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，$\frac{2}{a}$）上單調(diào)遞減；
（3）當(dāng)a=1時(shí)，g（x）=$\frac{2}{x}$+alnx-2+x-b，
∴g′（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$+1=$\frac{{x}^{2}+x-2}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+2）（x-1）}{{x}^{2}}$．
令g′（x）=0⇒x=-2（舍去）或x=1，
在區(qū)間[e^-1，e]上．令g′（x）＞0⇒g（x）增區(qū)間為（1，e）；
令g′（x）＜0⇒減區(qū)間為（$\frac{1}{e}$，1）．
∴x=1是g（x） 在[e^─1，e]上唯一的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)．
∴g（x）_min=g（1）=1-b．
∴要使g（x） 在[e^─1，e]上有兩個(gè)零點(diǎn)，只需$\left\{\begin{array}{l}{g（\frac{1}{e}）≥0}\\{g（e）≥0}\\{g（1）＜0}\end{array}\right.$，
解得1＜b≤$\frac{2}{e}$+e-1，
∴b的取值范圍是（1，$\frac{2}{e}$+e-1]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及幾何意義、函數(shù)零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)，注意求出函數(shù)的定義域，考查計(jì)算能力和分析問題的能力．