Question

2．已知曲線C：y=e^x+a 與直線y=ex+3相切，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求曲線C上的點(diǎn)P到直線y=x-4的距離的最小值，并求出取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，再由曲線C：y=e^x+a 與直線y=ex+3相切通過(guò)比較系數(shù)求得實(shí)數(shù)a的值；
（2）設(shè)出與直線y=x-4平行且與曲線C：y=e^x+3相切的直線與曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)，由函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于1求得切點(diǎn)橫坐標(biāo)，代入原函數(shù)求得切點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)到直線的距離公式求得曲線C上的點(diǎn)P到直線y=x-4的距離的最小值．

解答 解：（1）設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），
由y=e^x+a，得y′=e^x，
則${y}^{′}{|}_{x={x}_{0}}={e}^{{x}_{0}}$，
∴過(guò)切點(diǎn)的切線方程為$y-{e}^{{x}_{0}}-a={e}^{{x}_{0}}（x-{x}_{0}）$，
即$y={e}^{{x}_{0}}x-{x}_{0}{e}^{{x}_{0}}+{e}^{{x}_{0}}+a$．
又曲線C：y=e^x+a 與直線y=ex+3相切，
則$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{{x}_{0}}=e}\\{-{x}_{0}{e}^{{x}_{0}}+{e}^{{x}_{0}}+a=3}\end{array}\right.$，解得：a=3；
（2）設(shè)與直線y=x-4平行且與曲線C：y=e^x+3相切的直線與曲線的切點(diǎn)為（x₁，y₁），
則${e}^{{x}_{1}}=1$，即x₁=0，
則切點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4），
∴曲線C上的點(diǎn)P到直線y=x-4的距離的最小值為$\frac{|-1×4-4|}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}=\frac{8}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，是中檔題．