Question

7．某同學(xué)利用圖形計算器研究教材中一例問題“設(shè)點A、B的坐標(biāo)分別為（-5，0）、（5，0），直線AM、BM相交于M，且它們的斜率之積為$-\frac{4}{9}$．求點M的軌跡方程”時，將其中的已知條件“斜率之積為$-\frac{4}{9}$”拓展為“斜率之積為常數(shù)k（k≠0）”之后，進行了如圖所示的作圖探究：

參考該同學(xué)的探究，下列結(jié)論錯誤的是（　�。�

• A． k＞0時，點M的軌跡為焦點在x軸的雙曲線（不含與x軸的交點）
• B． -1＜k＜0時，點M的軌跡為焦點在x軸的橢圓（不含與x軸的交點）
• C． k＜-1時，點M的軌跡為焦點在y軸的橢圓（不含與x軸的交點）
• D． k＜0時，點M的軌跡為橢圓（不含與x軸的交點）

Answer 1

分析 設(shè)M（x，y），則k_AM=$\frac{y-0}{x+5}$，k_MB=$\frac{y-0}{x-5}$，則由題意可得，$\frac{y-0}{x+5}$•$\frac{y-0}{x-5}$=k，故y²=k（x²-25），分類討論可得結(jié)論．

解答 解：設(shè)M（x，y），則k_AM=$\frac{y-0}{x+5}$，k_MB=$\frac{y-0}{x-5}$
則由題意可得，$\frac{y-0}{x+5}$•$\frac{y-0}{x-5}$=k
故y²=k（x²-25）
若k=-1，則可化為y²+x²=25，表示了以原點為圓心，1為半徑的圓（除A，B點）；
若k＜-1，則可化為$\frac{{y}^{2}}{-25k}+\frac{{x}^{2}}{25}=1$，表示了焦點在y軸，以A、B為短軸端點的橢圓（除A，B點）；
-1＜k＜0時，則可化為$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{-25k}=1$，點M的軌跡為焦點在x軸的橢圓（不含與x軸的交點）；
k＞0時，點M的軌跡為焦點在x軸的雙曲線（不含與x軸的交點），
故選：D．

點評 本題考查曲線與方程，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，比較基礎(chǔ)．