Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，橢圓中心到直線x+y-b=0的距離為

5

2

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設過橢圓C的右焦點F且傾斜角為45°的直線l和橢圓C交于A，B兩點，對于橢圓C上任一點M，若

OM

=λ

OA

+μ

OB

，求λμ的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）利用橢圓的性質，求得a，b即可得出橢圓的方程；
（Ⅱ）根據橢圓與直線的關系，聯立方程組，結合方程根與系數的關系求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵e=

c

a

=

3

2

，∴c²=

3

4

a2，
∴b²=a²-c²=

1

4

a2，
∵橢圓中心到直線x+y-b=0的距離為

5

2

2

．
∴d=

b

2

=

5 2

2

，∴b=5，b²=25，a²=4b²=100，
∴橢圓的方程為

x2

100

+

y2

25

=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F（5

3

，0），
由題意可知AB方程為y=x-5

3

，①
橢圓的方程可化為x²+4y²=100，②
將①代入②消去y得5x²-40

3

x+200=0，③
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有x₁+x₂=8

3

，x₁x₂=40，
設M（x，y），由

OM

=λ

OA

+μ

OB

得
（x，y）=λ（x₁，y₁）+μ（x₂，y₂）=（λx₁+μx₂，λy₁+μy₂）
∴

x=λx1+μx2 y=λy1+μy2

，
又點M在橢圓上，
∴x²+4y²=(λx1+μx2)2+4(λy1+μy2)2
=λ²

x

2 1

+μ2

x

2 2

+2λμx₁x₂+4（λ2

y

2 1

+μ2

y

2 2

+2λμy₁y₂）
=λ²（

x

2 1

+4

y

2 1

）+μ²（

x

2 2

+4

y

2 2

）+2λμ（x₁x₂+4y₁y₂）
=100，④
又A，B在橢圓上，故有

x

2 1

+4

y

2 1

=100，

x

2 2

+4

y

2 2

=100，⑤
而x₁x₂+4y₁y₂=x₁x₂+4（x₁-5

3

）（x2-5

3

）=5x₁x₂-20

3

（x₁+x₂）+300=5×40-20

3

×8

3

+300=20，⑥
將⑤，⑥代入④可得λ²+μ²+

2λμ

5

=1，
∵1=λ2+μ2+

2λμ

5

≥2λμ+

2λμ

5

=

12

5

λμ，
∴λμ≤

5

12

，當且僅當λ=μ時取“=”，則λμ的最大值為

5

12

．

點評：本題主要考查橢圓的方程及其性質，考查直線與橢圓的位置關系及考查學生的運算求解能力，綜合性強，屬于難題．