Question

如圖，在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，E、F分別是PC、PD的中點(diǎn)，求證：
（Ⅰ）EF∥平面PAB；
（Ⅱ）平面PAD⊥平面PDC．

Answer 1

【答案】分析：（I）由E、F分別是PC、PD的中點(diǎn)，可由三角形中位線定理得到EF∥CD，進(jìn)而根據(jù)底面是矩形，對(duì)邊平行得到EF∥AB，結(jié)合線面平行的判定定理得到EF∥平面PAB；
（Ⅱ）由PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，可得PA⊥CD及AD⊥CD，進(jìn)而由線面垂直的判定定理得到DC⊥平面PAD，進(jìn)而由面面垂直的判定定理得到平面PAD⊥平面PDC．
解答：證明：（Ⅰ）∵E、F分別是PC、PD的中點(diǎn)，
∴EF∥CD．                    （2分）
∵底面ABCD是矩形，
∴CD∥AB．
∴EF∥AB．                  （4分）
又AB?平面PAB，EF?平面PAB，
∴EF∥平面PAB．               （7分）
（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD
∴PA⊥CD．                    （8分）
∵底面ABCD是矩形，AD⊥CD．                                                          （10分）
又PA∩AD=A，AP?面PAD，AD?面PAD，
∴DC⊥平面PAD．                                                   （12分）
∵DC?平面PDC，
∴平面PAD⊥平面PDC．                                                   （14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，其中（I）的關(guān)鍵是證得EF∥AB，（II）的關(guān)鍵是證得DC⊥平面PAD．