Question

已知圓C：（x-1）²+（y-2）²=16，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）
（Ⅰ）證明直線l恒過定點；
（Ⅱ）判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；
（Ⅲ）當(dāng)點M（x，y）在圓C上運動時，求

y

x+3

的取值范圍．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：（1）把已知直線l的方程變形為m（2x+y-7）+x+y-4=0，可得直線l必過直線2x+y-7=0與直線x+y+4=0的交點，故聯(lián)立兩直線的方程組成方程組，求出方程組的解，得到交點坐標(biāo)為（3，1），故不論m取什么實數(shù)，直線l恒過定點（3，1），得證．
（2）由A到圓心的距離d小于圓的半徑，判斷得到點A在圓內(nèi)，則直線經(jīng)過圓內(nèi)的點，從而可判斷直線與圓相交．
（3）令k=

y

x+3

，則y=kx+3k，轉(zhuǎn)換成求過點（-3，0）與圓有交點的所有直線的斜率的范圍，將直線代入圓的方程，利用△=0能求出結(jié)果．

解答： （1）證明：∵直線方程l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，
可以改寫為m（2x+y-7）+x+y-4=0
∴直線必經(jīng)過直線2x+y-7=0和x+y-4=0的交點，
由方程組

2x+y-7=0 x+y-4=0

，
解得x=3，y=1，
∴兩直線的交點為A（3，1）．
故不論m取什么實數(shù)，直線l恒過定點（3，1）．
（2）解：∵圓C：（x-1）²+（y-2）²=16，
∴圓心C（1，2），半徑r=4，
∵點A（3，1）與圓心C（1，2）的距離為

(3-1)2+(1-2)2

=

5

＜4，
∴A點在C內(nèi)，
∴直線與圓相交．
（3）解：∵圓C：（x-1）²+（y-2）²=16，
點M（x，y）在圓C上運動，
∴

x=1+4cosθ y=2+4sinθ

，0≤θ＜2π，
∴

y

x+3

=

2+4sinθ

4+4cosθ

令k=

y

x+3

，∴y=kx+3k，轉(zhuǎn)換成求過點（-3，0）與圓有交點的所有直線的斜率的范圍，
把y=kx+3k代入圓C：（x-1）²+（y-2）²=16，
得（x-1）²+（kx+3k-2）²=16，
整理，得（k²+1）x²+（6k²-4k-2）x+9k²-12k-11=0，
由△=（6k²-4k-2）²-4（k²+1）（9k²-12k-11）=0，
解得k=-

3

4

，
從而得到一條切線的斜率為-

3

4

，另一條切方程為x=-3，沒有斜率，
∴

y

x+3

的取值范圍是（-

3

4

，+∞）．

點評：本題考查證明直線l恒過定點的證明，考查直線l與圓C的位置關(guān)系的判斷，考查

y

x+3

的取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．