(2013•廣東)設(shè)函數(shù)f(x)=(x-1)ex-kx2(k∈R).
(1)當(dāng)k=1時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)k∈(
12
,1]
時(shí),求函數(shù)f(x)在[0,k]上的最大值M.
分析:(1)利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出f′(x),令f′(x)=0,即可得出實(shí)數(shù)根,通過列表即可得出其單調(diào)區(qū)間;
(2)利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求出f′(x),令f′(x)=0得出極值點(diǎn),列出表格得出單調(diào)區(qū)間,比較區(qū)間端點(diǎn)與極值即可得到最大值.
解答:解:(1)當(dāng)k=1時(shí),f(x)=(x-1)ex-x2f'(x)=ex+(x-1)ex-2x=x(ex-2)
令f'(x)=0,解得x1=0,x2=ln2>0
所以f'(x),f(x)隨x的變化情況如下表:
x (-∞,0) 0 (0,ln2) ln2 (ln2,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 極大值 極小值
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,0)和(ln2,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(0,ln2)
(2)f(x)=(x-1)ex-kx2,x∈[0,k],k∈(
1
2
,1]

f'(x)=xex-2kx=x(ex-2k)f'(x)=0,解得x1=0,x2=ln(2k)
令φ(k)=k-ln(2k),k∈(
1
2
,1]
,φ′(k)=1-
1
k
=
k-1
k
≤0

所以φ(k)在(
1
2
,1]
上是減函數(shù),∴φ(1)≤φ(k)<φ(
1
2
)
,∴1-ln2≤φ(k)<
1
2
<k.
即0<ln(2k)<k
所以f'(x),f(x)隨x的變化情況如下表:
x (0,ln(2k)) ln(2k) (ln(2k),k)
f'(x) - 0 +
f(x) 極小值
f(0)=-1,f(k)=(k-1)ek-k3f(k)-f(0)=(k-1)ek-k3+1=(k-1)ek-(k3-1)=(k-1)ek-(k-1)(k2+k+1)=(k-1)[ek-(k2+k+1)]
因?yàn)?span id="pjdprnj" class="MathJye">k∈(
1
2
,1],所以k-1≤0
對(duì)任意的k∈(
1
2
,1]
,y=ex的圖象恒在y=k2+k+1下方,所以ek-(k2+k+1)≤0
所以f(k)-f(0)≥0,即f(k)≥f(0)
所以函數(shù)f(x)在[0,k]上的最大值M=f(k)=(k-1)ek-k3.
點(diǎn)評(píng):熟練掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值得方法是解題的關(guān)鍵.
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