Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n∈N⁺，n≥2），且a₄=65．求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：由數(shù)列{a_n}滿足：a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n∈N⁺，n≥2）且a₄=65．分別令n=4，3，2即可解得數(shù)列首項(xiàng)，由已知a_n=2a_n-1+2ⁿ-1，變形為

an-1

2n

-

an-1-1

2n-1

=1（n≥2），即{

an-1

2n

}成等差數(shù)列．利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得an=2n+1，再利用“錯(cuò)位相減法”即可得出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：由a₄=65，a_n=2a_n-1+2ⁿ-1，得
65=2a3+24-1，即a₃=25，
25=2a2+23-1，即a₂=9，
9=2a1+22-1，即a₁=3．
∵a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2），
∴

an

2n

=

an-1

2n-1

+1-

1

2n

，
∴

an-1

2n

-

an-1-1

2n-1

=1（n≥2），
則{

an-1

2n

}成等差數(shù)列．
∴

an-1

2n

=1+n-1=n，
∴an=2n+1，
∴Sn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n．
令Tn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，
則2Tn=1•22+2•23+…+(n-1)•2n+n•2n+1，
∴-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．
Sn=(n-1)2n+1+n+2．

點(diǎn)評：本題考查了變形轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的數(shù)列的求和問題、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．