Question

已知a∈R，函數(shù)f（x）=

x

（x-a）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為[0，+∞）．f′(x)=

x-a

2 x

+

x

=

3x-a

2 x

，由此利用導數(shù)性質能求出函數(shù)f（x）的單調區(qū)間．
（Ⅱ）利用分類討論思想結合導數(shù)性質能求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為[0，+∞）．
f′(x)=

x-a

2 x

+

x

=

3x-a

2 x

，
①當a≤0時，f′（x）＞0，x≠0，∴f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)．
②當a＞0時，當0≤x＜

a

3

時，f′（x）＜0；
當x＞

a

3

時，f′（x）＞0．
故f（x）在[0，

a

3

）上為減函數(shù)，在[

a

3

，+∞）上為增函數(shù)．
（Ⅱ）（1）當a≤0時，
由（Ⅰ）知f（x）在[1，2]上為增函數(shù)，∴f（x）_min=f（1）=1-a．
（2）當a＞0時，
①當a≥6時，2≤

a

3

，由（Ⅰ）知
f（x）在[1，2]上為減函數(shù)，∴f（x）_min=f（2）=

2

(2-a)；
②當3＜a＜6時，1＜

a

3

＜2，由（Ⅰ）知
f（x）在[1，

a

3

）上為減函數(shù)，在（

a

3

，2]上為增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（

a

3

）=-

2a a

3

；
③當0＜a≤3時，

a

3

≤1，
由（Ⅰ）知f（x）在[1，2]上為增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（1）=1-a．
綜上所述，
f（x）_min=

1-a，a≤3 - 2a a 3 ，3＜a＜6 2 (2-a)，a≥6

．

點評：本題考查函數(shù)的單調區(qū)間的求法，考查函數(shù)的最小值的求法，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質和分類討論思想的合理運用．