Question

函數(shù)f（x）=ax³-b的圖象與直線y=3x+2相切于點(diǎn)A（1，f（1））．
（1）求a、b值；
（2）若函數(shù)f（x）在點(diǎn)B（-1，f（-1））的切線方程為l，直線m∥l，且m與拋物線y²=2x相切，求直線l和m的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）求出f'（x）=3ax²，則f'（1）=3，求出切點(diǎn)，則f（1）=5，即可得到a，b；
（2）求出導(dǎo)數(shù)f'（x），得到切線l方程，設(shè)直線m的方程，代入拋物線方程，消去x，由判別式為0，即可得到l，m的方程．

解答： 解：（1）由已知得f'（x）=3ax²，則f'（1）=3a=3，∴a=1．
又點(diǎn)A在直線y=3x+2上，得f（1）=5，即A（1，5）．
代入f（x）=x³-b，得5=1-b，則b=-4．
（2）由f（x）=x³+4，得f'（x）=3x²，
∴k=f'（-1）=3，又B（-1，3）．
∴切線l方程為y-3=3（x+1），即3x-y+6=0．
設(shè)直線m的方程為y=3x+t，代人y²=2x得3y²-2y+2t=0．
∴△=4-24t=0，從而t=

1

6

．
所以直線m的方程為3x-y+

1

6

=0．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率，考查兩直線的位置關(guān)系，直線與拋物線方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)，運(yùn)用判別式為0，解決相切問題，屬于基礎(chǔ)題．