Question

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=PA=2，CD=4，E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點．
（Ⅰ） 證明：EF∥平面PAB；
（Ⅱ） 求直線AC與平面ABEF所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點，得EF∥CD，由此能證明EF∥平面PAB．
（Ⅱ）取線段PA中點M，連結EM，則EM∥AC，故AC與面ABEF所成角的大小等于ME與面ABEF所成角的大小，由此能求出AC與平面ABEF所成的角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：因為E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點，所以EF∥CD，
又因為CD∥AB，所以EF∥AB，
又因為EF?平面PAB，AB?平面PAB，
所以EF∥平面PAB．

（Ⅱ）解：取線段PA中點M，連結EM，則EM∥AC，
故AC與面ABEF所成角的大小等于ME與面ABEF所成角的大�。�
作MH⊥AF，垂足為H，連結EH．
因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，
又因為AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，
又因為EF∥AB，
所以EF⊥平面PAD．
因為MH?平面PAD，所以EF⊥MH，
所以MH⊥平面ABEF，
所以∠MEH是ME與面ABEF所成的角．
在直角△EHM中，EM=

1

2

AC=

5

，MH=

2

2

，得
sin∠MEH=

10

10

．
所以AC與平面ABEF所成的角的正弦值是

10

10

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．