【題目】已知函數(shù)f(x)=(x+a)ex,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),a∈R.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)當(dāng)a<1時(shí),試確定函數(shù)g(x)=f(x-a)-x2的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由.

【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-a-1),單調(diào)遞增區(qū)間為(-a-1,+∞).(2)見(jiàn)解析

【解析】試題分析:(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),研究導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),根據(jù)到函數(shù)的正負(fù)得到原函數(shù)的單調(diào)性;(2)將函數(shù)g(x)=f(x-a)-x2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為該函數(shù)和x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題,研究這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性和圖像,找到它和軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。

解析:

(1)因?yàn)閒(x)=(x+a)ex,x∈R,所以f′(x)=(x+a+1)ex.

令f′(x)=0,得x=-a-1.

當(dāng)x變化時(shí),f(x)和f′(x)的變化情況如下:

x

(-∞,-a-1)

-a-1

(-a-1,+∞)

f′(x)

0

f(x)

?

極小值

?

故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-a-1),單調(diào)遞增區(qū)間為(-a-1,+∞).

(2)結(jié)論:函數(shù)g(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

理由如下:

由g(x)=f(x-a)-x2=0,得方程xex-a=x2,

顯然x=0為此方程的一個(gè)實(shí)數(shù)解,

所以x=0是函數(shù)g(x)的一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)x≠0時(shí),方程可化簡(jiǎn)為ex-a=x.

設(shè)函數(shù)F(x)=ex-a-x,則F′(x)=ex-a-1,令F′(x)=0,得x=a.

當(dāng)x變化時(shí),F(xiàn)(x)和F′(x)的變化情況如下:

x

(-∞,a)

a

(a,+∞)

F′(x)

0

F(x)

?

極小值

?

即F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(a,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,a).

所以F(x)的最小值F(x)min=F(a)=1-a.因?yàn)閍<1,

所以F(x)min=F(a)=1-a>0,

所以對(duì)于任意x∈R,F(xiàn)(x)>0,

因此方程ex-a=x無(wú)實(shí)數(shù)解.

所以當(dāng)x≠0時(shí),函數(shù)g(x)不存在零點(diǎn).

綜上,函數(shù)g(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

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(x,y)

(n,n)

(m,n)

(n,m)

f(xy)

n

mn

mn

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