Question

學(xué)校體育節(jié)擬舉行一項(xiàng)趣味運(yùn)動(dòng)比賽，選手進(jìn)入正賽前通過“海選”，參加海選的選手可以參加A、B、C三個(gè)測(cè)試項(xiàng)目，只需通過一項(xiàng)測(cè)試即可停止測(cè)試，通過海選．若通過海選的人數(shù)超過預(yù)定正賽人數(shù)，則優(yōu)選考慮參加海選測(cè)試次數(shù)少的選手進(jìn)入正賽．甲同學(xué)通過項(xiàng)目A、B、C測(cè)試的概率分別為

1

4

，

1

3

，

1

2

且通過各次測(cè)試的事件相互獨(dú)立．
（1）若甲同學(xué)先測(cè)試A項(xiàng)目，再測(cè)試B項(xiàng)目，后測(cè)試C項(xiàng)目，求他通過海選的概率；若改變測(cè)試順序，對(duì)他通過海選的概率是否有影響？說明理由．
（2）若甲同學(xué)按某種順序參加海選測(cè)試，第一項(xiàng)能通過的概率為P₁，第二項(xiàng)能通過的概率為P₂，第三項(xiàng)能通過的概率為P₃，設(shè)他通過海選時(shí)參加測(cè)試的次數(shù)為ξ，求ξ的分布列和期望（用P₁P₂P₃表示）；試說明甲同學(xué)按怎樣的測(cè)試順序更有利于他進(jìn)入正賽．

Answer 1

（1）依題意，甲同學(xué)不能通過海選的概率為（1-

1

4

）（1-

1

3

）（1-

1

2

）=

1

4

∴甲同學(xué)能通過海選的概率為1-

1

4

=

3

4

若改變測(cè)試順序，對(duì)他通過海選的概沒有影響，因?yàn)闊o(wú)論按什么順序，甲同學(xué)不能通過海選的概率為（1-

1

4

）（1-

1

3

）（1-

1

2

）=

1

4

，∴甲同學(xué)能通過海選的概率為1-

1

4

=

3

4

（2）ξ的可能取值為1，2，3
P（ξ=1）=p₁，P（ξ=2）=（1-p₁）p₂，P（ξ=3）=（1-p₁）（1-p₂）p₂
∴ξ的分布列為

ξ	1	2	3
P	p1	（1-p1）p2	（1-p1）（1-p2）p2

∴Eξ=p₁+2（1-p₁）p₂+3（1-p₁）（1-p₂）p₂，
∵參加海選測(cè)試次數(shù)少的選手進(jìn)入正賽，
∴該同學(xué)選擇將自己的優(yōu)勢(shì)項(xiàng)目放在前面，即按CBA的順序參加測(cè)試時(shí)，Eξ最�。�