Question

【題目】如圖，四面體ABCD中，O是BD中點，AB=AD=2，.

（1）求證：AO⊥平面BCD；

（2）求點D到平面ABC的距離。

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

（1）利用等腰三角形和勾股定理得到AO與BD，OC垂直，即可得證；

（2）利用第一步得到的三線垂直，建立空間坐標系，容易找到各點坐標，從而得到所需向量和法向量，代入公式即可得解．

（1）連接OC，

∵BO＝DO，AB＝AD，

∴AO⊥BD，

∵BO＝DO，BC＝CD，

∴CO⊥BD，

在△AOC中，由題設知

AO，，AC，

∴AO2+CO2＝AC2，

∴∠AOC＝90°，

即AO⊥OC，

∵BD∩OC＝O，

∴AO⊥平面BCD；

（2）以O為原點，如圖建立空間直角坐標系，

則A（0，0，），B（，0，0），

C（0，，0），D（，0，0），

，．

設平面ABC的一個法向量為（x，y，z），

則

令y＝1，得（，1，）

又，

∴點D到平面ABC的距離

，

即點D到平面ABC的距離為．