【題目】在平面直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為,以原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρ=2cosθ.
(1)若曲線C1方程中的參數(shù)是α,且C1與C2有且只有一個公共點,求C1的普通方程;
(2)已知點A(0,1),若曲線C1方程中的參數(shù)是t,0<α<π,且C1與C2相交于P,Q兩個不同點,求的最大值.
【答案】(1)或;(2)
【解析】
(1)利用公式直接把極坐標方程化為直角坐標方程,利用圓與圓相切,可以得到等式,求出,進而得到結果;
(2)把曲線參數(shù)方程代入曲線直角坐標方程,得到一個一元二次方程,設交點對應的參數(shù)分別是,利用一元二次方程根與系數(shù)的關系,求得的表達式,求出最大值.
(1)∵ρ=2cosθ,∴曲線C2的直角坐標方程為∴(x﹣1)2+y2=1,
∵α是曲線C1:的參數(shù),∴C1的普通方程為x2+(y﹣1)2=t2,
∵C1與C2有且只有一個公共點,∴|t|1或|t|1,
∴C1的普通方程為x2+(y﹣1)2=()2或x2+(y﹣1)2=()2
(2)∵t是曲線C1:的參數(shù),∴C1是過點A(0,1)的一條直線,
設與點P,Q相對應的參數(shù)分別是t1,t2,把,代入(x﹣1)2+y2=1得t2+2(sinα﹣cosα)t+1=0,∴
∴|t1|+|t2|=|t1+t2|=2|sin(α)|≤2,
當α時,△=4(sinα﹣cosα)2﹣4=4>0,
取最大值2.
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【題目】四棱錐A-BCDE中,底面BCDE為矩形,側面ABC底面BCDE,BC=2,CD=,AB=AC
(1)證明.
(2)設側面ABC為等邊三角形,求二面角C-AD-E的余弦值。
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【題目】某地區(qū)為了了解本年度數(shù)學競賽成績情況,從中隨機抽取了個學生的分數(shù)作為樣本進行統(tǒng)計,按照,,,,的分組作出頻率分布直方圖如圖所示,已知得分在的頻數(shù)為20,且分數(shù)在70分及以上的頻數(shù)為27.
(1)求樣本容量以及,的值;
(2)在選取的樣本中,從競賽成績在80分以上(含80分)的學生中隨機抽取2名學生,求所抽取的2名學生中恰有一人得分在內的概率.
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【題目】①在同一坐標系中,與的圖象關于軸對稱
②函數(shù)是奇函數(shù)
③函數(shù)的圖象關于成中心對稱
④函數(shù)的最大值為
以上四個判斷正確有_____________.(寫上序號)
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【題目】為迎接“五一”節(jié)的到來,某單位舉行“慶五一,展風采”的活動.現(xiàn)有6人參加其中的一個節(jié)目,該節(jié)目由兩個環(huán)節(jié)可供參加者選擇,為增加趣味性,該單位用電腦制作了一個選擇方案:按下電腦鍵盤“Enter”鍵則會出現(xiàn)模擬拋兩枚質地均勻骰子的畫面,若干秒后在屏幕上出現(xiàn)兩個點數(shù)和,并在屏幕的下方計算出的值.現(xiàn)規(guī)定:每個人去按“Enter”鍵,當顯示出來的小于時則參加環(huán)節(jié),否則參加環(huán)節(jié).
(1)求這6人中恰有2人參加該節(jié)目環(huán)節(jié)的概率;
(2)用分別表示這6個人中去參加該節(jié)目兩個環(huán)節(jié)的人數(shù),記,求隨機變量的分布列與數(shù)學期望.
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【題目】如圖所示,射線OA、OB分別與x軸正半軸成45°和30°角,過點P(1,0)作直線AB分別交OA、OB于A、B兩點,當AB的中點C恰好落在直線y=x上時,求直線AB的方程.
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【題目】某景區(qū)的各景點從2009年取消門票實行免費開放后,旅游的人數(shù)不斷地增加,不僅帶動了該市淡季的旅游,而且優(yōu)化了旅游產(chǎn)業(yè)的結構,促進了該市旅游向“觀光、休閑、會展”三輪驅動的理想結構快速轉變.下表是從2009年至2018年,該景點的旅游人數(shù)(萬人)與年份的數(shù)據(jù):
第年 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
旅游人數(shù)(萬人) | 300 | 283 | 321 | 345 | 372 | 435 | 486 | 527 | 622 | 800 |
該景點為了預測2021年的旅游人數(shù),建立了與的兩個回歸模型:
模型①:由最小二乘法公式求得與的線性回歸方程;
模型②:由散點圖的樣本點分布,可以認為樣本點集中在曲線的附近.
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),求模型②的回歸方程.(精確到個位,精確到0.01).
(2)根據(jù)下列表中的數(shù)據(jù),比較兩種模型的相關指數(shù),并選擇擬合精度更高、更可靠的模型,預測2021年該景區(qū)的旅游人數(shù)(單位:萬人,精確到個位).
回歸方程 | ① | ② |
30407 | 14607 |
參考公式、參考數(shù)據(jù)及說明:
①對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為.②刻畫回歸效果的相關指數(shù);③參考數(shù)據(jù):,.
5.5 | 449 | 6.05 | 83 | 4195 | 9.00 |
表中.
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