【題目】已知函數(shù).
(1)設(shè)是的極值點(diǎn).求,并求的單調(diào)區(qū)間;
(2)證明:當(dāng)時(shí),.
【答案】(1) a=;f(x)在(0,2)單調(diào)遞減,在(2,+∞)單調(diào)遞增.
(2)證明見解析.
【解析】分析:(1)先確定函數(shù)的定義域,對(duì)函數(shù)求導(dǎo),利用f ′(2)=0,求得a=,從而確定出函數(shù)的解析式,之后觀察導(dǎo)函數(shù)的解析式,結(jié)合極值點(diǎn)的位置,從而得到函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間;
(2)結(jié)合指數(shù)函數(shù)的值域,可以確定當(dāng)a≥時(shí),f(x)≥,之后構(gòu)造新函數(shù)g(x)=,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,從而求得g(x)≥g(1)=0,利用不等式的傳遞性,證得結(jié)果.
詳解:(1)f(x)的定義域?yàn)?/span>,f ′(x)=aex–.
由題設(shè)知,f ′(2)=0,所以a=.
從而f(x)=,f ′(x)=.
當(dāng)0<x<2時(shí),f ′(x)<0;當(dāng)x>2時(shí),f ′(x)>0.
所以f(x)在(0,2)單調(diào)遞減,在(2,+∞)單調(diào)遞增.
(2)當(dāng)a≥時(shí),f(x)≥.
設(shè)g(x)=,則
當(dāng)0<x<1時(shí),g′(x)<0;當(dāng)x>1時(shí),g′(x)>0.所以x=1是g(x)的最小值點(diǎn).
故當(dāng)x>0時(shí),g(x)≥g(1)=0.
因此,當(dāng)時(shí),.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在正方體中,若棱長(zhǎng)為,點(diǎn)分別為線段、上的動(dòng)點(diǎn),則下列結(jié)論正確結(jié)論的是( )
A.面B.面面
C.點(diǎn)F到面的距離為定值D.直線與面所成角的正弦值為定值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在上的函數(shù)滿足如下條件:①函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱;②對(duì)于任意,;③當(dāng)時(shí),;④函數(shù),,若過點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象在上恰有8個(gè)交點(diǎn),則直線斜率的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓,離心率,短軸,拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn),以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸,焦點(diǎn)為,
(1)求橢圓和拋物線的方程;
(2)設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為,為拋物線上第一象限內(nèi)的點(diǎn),為橢圓是一點(diǎn),且有,當(dāng)線段的中點(diǎn)在軸上時(shí),求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知集合A={x|2≤x≤8},B={x|1<x<6},C={x|x>a},U=R.
(1)求A∪B,(CUA)∩B;
(2)若A∩C≠,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為,以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ.
(1)若曲線C1方程中的參數(shù)是α,且C1與C2有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求C1的普通方程;
(2)已知點(diǎn)A(0,1),若曲線C1方程中的參數(shù)是t,0<α<π,且C1與C2相交于P,Q兩個(gè)不同點(diǎn),求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)習(xí)雷鋒精神前半年內(nèi)某單位餐廳的固定餐椅經(jīng)常有損壞,學(xué)習(xí)雷鋒精神時(shí)全修好;單位對(duì)學(xué)習(xí)雷鋒精神前后各半年內(nèi)餐椅的損壞情況作了一個(gè)大致統(tǒng)計(jì),具體數(shù)據(jù)如表:
損壞餐椅數(shù) | 未損壞餐椅數(shù) | 總計(jì) | |
學(xué)習(xí)雷鋒精神前 | 50 | 150 | 200 |
學(xué)習(xí)雷鋒精神后 | 30 | 170 | 200 |
總計(jì) | 80 | 320 | 400 |
求:學(xué)習(xí)雷鋒精神前后餐椅損壞的百分比分別是多少?并初步判斷損毀餐椅數(shù)量與學(xué)習(xí)雷鋒精神是否有關(guān)?
請(qǐng)說明是否有以上的把握認(rèn)為損毀餐椅數(shù)量與學(xué)習(xí)雷鋒精神
有關(guān)?參考公式:,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐S﹣ABCD中,M是SB的中點(diǎn),AB∥CD,BC⊥CD,且AB=BC=2,CD=SD=1,又SD⊥面SAB.
(1)證明:CD⊥SD;
(2)證明:CM∥面SAD;
(3)求四棱錐S﹣ABCD的體積.
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