Question

19．已知動圓過定點F（0，$\frac{1}{4}$），且與定直線l：y=-$\frac{1}{4}$相切．
（1）求動圓圓心的軌跡曲線C的方程；
（2）若點A（x₀，y₀）是直線x-y-1=0上的動點，過點A作曲線C的切線，切點記為M，N．求證：直線MN恒過定點，并求△AMN面積S的最小值．

Answer 1

分析 （1）由動圓過定點F（0，$\frac{1}{4}$），且與定直線l：y=-$\frac{1}{4}$相切．利用拋物線的定義即可得出．
（2）A（x₀，x₀-1）．由拋物線y=x²，可得y′=2x．設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），${y}_{1}={x}_{1}^{2}$，${y}_{2}={x}_{2}^{2}$．可得切線AM方程：${x}_{1}^{2}$-2x₁x₀+（x₀-1）=0．切線AN方程：${x}_{2}^{2}-2{x}_{2}{x}_{0}$+（x₀-1）=0．于是x₁，x₂是一元二次方程t²-2x₀t+（x₀-1）=0的兩個實數(shù)根，可得x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=x₀-1．利用點斜式可得直線MN的方程：y=（x₁+x₂）x-x₁x₂，
代入化為x₀（2x-1）+1-y=0，可得直線MN恒過定點$（\frac{1}{2}，1）$．由直線MN的方程：2x₀x-y+1-x₀=0，利用點到直線的距離公式可得：點A到直線MN的距離d=$\frac{|2{x}_{0}^{2}+2-2{x}_{0}|}{\sqrt{4{x}_{0}^{2}+1}}$．利用兩點之間的距離公式可得：|MN|=$\sqrt{（1+4{x}_{0}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$．可得△AMN面積S=2$（{x}_{0}^{2}-{x}_{0}+1）^{2}$，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 （1）解：∵動圓過定點F（0，$\frac{1}{4}$），且與定直線l：y=-$\frac{1}{4}$相切．
∴動圓圓心的軌跡是以點F為焦點、直線l為準(zhǔn)線的拋物線：x²=y．
∴曲線C的方程為x²=y．
（2）證明：A（x₀，x₀-1）．
由拋物線y=x²，可得y′=2x．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），${y}_{1}={x}_{1}^{2}$，${y}_{2}={x}_{2}^{2}$．
對于切線AM可得：$2{x}_{1}=\frac{{x}_{1}^{2}-（{x}_{0}-1）}{{x}_{1}-{x}_{0}}$，化為${x}_{1}^{2}$-2x₁x₀+（x₀-1）=0．
同理對于切線AN可得：${x}_{2}^{2}-2{x}_{2}{x}_{0}$+（x₀-1）=0．
∵x₁≠x₂，
∴x₁，x₂是一元二次方程t²-2x₀t+（x₀-1）=0的兩個實數(shù)根，
∴x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=x₀-1．
由直線MN的方程可得：$y-{x}_{1}^{2}$=$\frac{{x}_{1}^{2}-{x}_{2}^{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$（x-x₁），
化為y=（x₁+x₂）x-x₁x₂，
∴2x₀x-（x₀-1）-y=0，
化為x₀（2x-1）+1-y=0，
令$\left\{\begin{array}{l}{2x-1=0}\\{1-y=0}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{1}{2}$，y=1．
∴直線MN恒過定點$（\frac{1}{2}，1）$．
由直線MN的方程：2x₀x-y+1-x₀=0，
∴點A到直線MN的距離d=$\frac{|2{{x}_{0}}^{2}-（{x}_{0}-1）+1-{x}_{0}|}{\sqrt{4{x}_{0}^{2}+1}}$=$\frac{|2{x}_{0}^{2}+2-2{x}_{0}|}{\sqrt{4{x}_{0}^{2}+1}}$．
|MN|=$\sqrt{（1+4{x}_{0}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{（1+4{x}_{0}^{2}）（4{x}_{0}^{2}-4{x}_{0}+4）}$．
△AMN面積S=2$（{x}_{0}^{2}-{x}_{0}+1）^{2}$=$2[（{x}_{0}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}]^{2}$≥2×$（\frac{3}{4}）^{2}$=$\frac{9}{8}$，當(dāng)且僅當(dāng)x₀=$\frac{1}{2}$，即A$（\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}）$時，取等號．
∴直線MN恒過定點$（\frac{1}{2}，1）$，△AMN面積S的最小值為$\frac{9}{8}$．

點評 本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相切性質(zhì)、點到直線的距離公式、兩點之間的距離公式、三角形面積計算公式、直線過定點問題，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．