Question

16．已知拋物線y²=4x與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）有相同的焦點(diǎn)F，點(diǎn)A，B是兩曲線的交點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）•$\overrightarrow{AF}$=0，則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為（　　）

• A． $\sqrt{2}$+2
• B． $\sqrt{2}$-1
• C． 2$\sqrt{2}$-1
• D． 2$\sqrt{2}$-2

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點(diǎn)，即有雙曲線的c=1，運(yùn)用數(shù)量積為0，得到AF⊥x軸，可得A（1，2），再由雙曲線的定義可得實(shí)軸長(zhǎng)．

解答 解：由拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0）
即有雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的c=1，
若（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）•$\overrightarrow{AF}$=0，
則AF⊥x軸．設(shè)A點(diǎn)在第一象限，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）
設(shè)左焦點(diǎn)為F'，則|FF'|=2，由勾股定理得|AF'|=2$\sqrt{2}$，
由雙曲線的定義可知2a=|AF'|-|AF|=2$\sqrt{2}$-2．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線和雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查雙曲線的定義的運(yùn)用，同時(shí)考查向量垂直的條件，屬于基礎(chǔ)題．