Question

已知函數(shù)f（x）=2^x，x∈R．
（1）若存在x∈[-1，1]，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）解關(guān)于x的不等式f（2x）+（a-1）f（x）＞a；
（3）若f（x₁）+f（x₂）=f（x₁）f（x₂），f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）=f（x₁）f（x₂）f（x₃），求x₃的最大值．

Answer 1

解：（1）∵存在 x∈[-1，1]，令，即成立． （1分）
∴a＞-t²+2t．由于函數(shù)y=-t²+2t的最小值為0，此時(shí)，t=2，（4分）
∴a＞0，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，+∞）．（5分）
（2）不等式f（2x）+（a-1）f（x）＞a，即 2^2x+（a-1）x＞a．
令t=2^x∈（0，+∞），不等式即（t-1）（t+a）＞0．（6分）
①當(dāng)-a=1，即a=-1，可得t＞0且t≠1，∴x≠0．（7分）
②當(dāng)-a＞1，即a＜-1，可得t＞-a，或0＜t＜1，∴x＞log₂（-a），或x＜0．（8分）
③當(dāng)-a＜1，即 a＞-1，可得t＜-a，或t＞1．
若-a≤0，即a≥0，由不等式可得t＞1，∴x＞0．（9分）
若0＜-a＜1，即-1＜a＜0，由不等式可得0＜t＜-a，或t＞1，
∴x＜log₂（-a），或x＞0．（10分）
綜上，當(dāng)a=-1時(shí)，不等式的解集為{x|x≠0}；
當(dāng)a＜-1時(shí)，不等式的解集為{x|x＞log₂（-a），或x＜0 }；
當(dāng) a≥0時(shí)，不等式的解集為{x|x＞0}；
當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，不等式的解集為{x|x＜log₂（-a），或x＞0}．（11分）
（3）令，則a+b=ab，a+b+c=abc，（a，b，c＞0）．
由．（13分）
（15分）
∴，故x₃的最大值為．（16分）
分析：（1）由于存在 x∈[-1，1]，令，可得a＞-t²+2t．再根據(jù)函數(shù)y=-t²+2t的最小值為0，求得a的范圍．
（2）不等式即 2^2x+（a-1）x＞a．令t=2^x∈（0，+∞），不等式即（t-1）（t+a）＞0．結(jié)合t的范圍，分a=-1、a＜-1、a＞-1三種情況，分別求得x的范圍．
（3）令，則a+b=ab，a+b+c=abc，利用基本不等式求得ab的范圍，可得c的范圍，從而求得x₃的最大值．
點(diǎn)評：本題主要考查一元二次不等式、對數(shù)不等式的解法，不等式的性質(zhì)以及基本不等式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．