【題目】已知函數(shù),其中

(Ⅰ)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)設(shè),求證:;

(Ⅲ)若對于恒成立,求的最大值.

【答案】(Ⅰ)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為;(Ⅱ)證明見解析;(Ⅲ).

【解析】

(Ⅰ)利用二次求導(dǎo)可得,所以上為增函數(shù),進(jìn)而可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為;(Ⅱ)利用導(dǎo)數(shù)可得在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn),所以函數(shù)遞減,在,遞增,則,進(jìn)而可證;(Ⅲ)條件等價于對于恒成立,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)可得的單調(diào)性,即可得到的最小值為,再次構(gòu)造函數(shù)a,利用導(dǎo)數(shù)得其單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而求得最大值.

(Ⅰ)當(dāng)時,

,所以,

又因?yàn)?/span>,所以上為增函數(shù),

因?yàn)?/span>,所以當(dāng)時,,為增函數(shù),

當(dāng)時,,為減函數(shù),

即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為;

(Ⅱ)

則令,則1,,

所以在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn),

設(shè)零點(diǎn)為,則,且,

當(dāng)時,,當(dāng),,

所以函數(shù)遞減,在,遞增,

,

,得,所以

由于,,從而;

(Ⅲ)因?yàn)?/span>對于恒成立,即對于恒成立,

不妨令,

因?yàn)?/span>,

所以的解為,

則當(dāng)時,,為增函數(shù),

當(dāng)時,,為減函數(shù),

所以的最小值為

,

不妨令a,

a,解得

所以當(dāng)時,aa)為增函數(shù),

當(dāng)時,a,a)為減函數(shù),

所以a)的最大值為,

的最大值為

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知.

1)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

2)若不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,點(diǎn)MPB中點(diǎn),底面ABCD為梯形,ABCD,ADCD,AD=CD=PC=AB.

1)證明:CM∥平面PAD

2)若四棱錐P-ABCD的體積為4,求點(diǎn)M到平面PAD的距離.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),其中為正實(shí)數(shù).

討論函數(shù)的單調(diào)性;

若存在,使得不等式成立,求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某校設(shè)計了一個實(shí)驗(yàn)考察方案:考生從6道備選題中隨機(jī)抽取3道題,按照題目要求獨(dú)立完成全部實(shí)驗(yàn)操作,規(guī)定:至少正確完成其中的2道題便可通過.已知6道備選題中考生甲有4道能正確完成,2道題不能完成;考生乙每題正確完成的概率都是,且每題正確完成與否互不影響.

(Ⅰ)求甲考生通過的概率

(Ⅱ)求甲乙兩考生正確完成題數(shù)的概率分布列和數(shù)學(xué)期望;

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為:.

1)求直線和曲線的直角坐標(biāo)方程;

2,直線和曲線交于、兩點(diǎn),求的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】近幾年市加大霧霾治理的投入,空氣質(zhì)量與前幾年相比有了很大改善,并于市入選中國空氣優(yōu)良城市.已知該市設(shè)有個監(jiān)測站用于監(jiān)測空氣質(zhì)量指數(shù)(),其中在輕度污染區(qū)、中度污染區(qū)、重度污染區(qū)分別設(shè)有、、個監(jiān)測站,并以個監(jiān)測站測得的的平均值為依據(jù)播報該市的空氣質(zhì)量.

1)若某日播報的,已知輕度污染區(qū)平均值為,中度污染區(qū)平均值為,求重度污染區(qū)平均值;

2)如圖是月份天的的頻率分布直方圖,月份僅有內(nèi).

①某校參照官方公布的,如果周日小于就組織學(xué)生參加戶外活動,以統(tǒng)計數(shù)據(jù)中的頻率為概率,求該校學(xué)生周日能參加戶外活動的概率;

②環(huán)衛(wèi)部門從月份不小于的數(shù)據(jù)中抽取兩天的數(shù)據(jù)進(jìn)行研究,求抽取的這兩天中值在的天數(shù)的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

2)當(dāng)時,,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面坐標(biāo)系中中,已知直線l的參考方程為t為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為s為參數(shù)).設(shè)P為曲線C上的動點(diǎn),

(Ⅰ)求直線l和曲線C的直角坐標(biāo)方程;

(Ⅱ)求點(diǎn)P到直線l的距離的最小值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案