Question

所有真約數(shù)（除本身之外的正約數(shù)）的和等于它本身的正整數(shù)叫做完全數(shù)．如：6=1+2+3；28=1+2+4+7+14；496=1+2+4+8+16+31+62+124+248．已經(jīng)證明：若2ⁿ-1是質(zhì)數(shù)，則2^n-1（2ⁿ-1）是完全數(shù)，n∈N^*．請寫出一個四位完全數(shù)

 

；又6=2×3，所以6的所有正約數(shù)之和可表示為（1+2）•（1+3）；28=2²×7，所以28的所有正約數(shù)之和可表示為（1+2+2²）•（1+7）；按此規(guī)律，請寫出所給的四位數(shù)的所有正約數(shù)之和可表示為

 

．（請參照6與28的形式給出）

Answer 1

考點：進行簡單的合情推理

專題：空間位置關系與距離

分析：根據(jù)已知中若2ⁿ-1是質(zhì)數(shù)，則2^n-1（2ⁿ-1）是完全數(shù)，令n=7可得一個四位完全數(shù)，進而根據(jù)已知中6的所有正約數(shù)之和及28的所有正約數(shù)之和的表達形式得到8128的所有正約數(shù)之和．

解答： 解：若2ⁿ-1是質(zhì)數(shù)，則2^n-1（2ⁿ-1）是完全數(shù)，
令n=7可得一個四位完全數(shù)為64×127=8128．
由題意可令8128=2⁶×（2⁷-1）=2⁶×127，
其所有正約數(shù)之和為（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶）•（1+127），
故答案為：8128，（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶）•（1+127）

點評：本題考查合情推理，考查學生分析解決問題的能力，正確理解新定義是關鍵．